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【高等数学】五、微分方程

发布时间:2022/10/1 0:34:53

微分方程

一、一阶微分方程

1.可分离变量型

可分离变量型

情况一
能写成 y ′ = f ( x ) ⋅ g ( y ) y'=f(x)\cdot g(y) y=f(x)g(y)的,分离变量写成 d y g ( y ) = f ( x ) d x \frac{dy}{g(y)}=f(x)dx g(y)dy=f(x)dx然后两边积分

情况二
能写成 y ′ = f ( a x + b y + c ) y' = f(ax+by+c) y=f(ax+by+c)

  • 换元:令 u = a x + b y + c ⇒ u ‘ = a + b f ( u ) u=ax+by+c\Rightarrow u‘=a+bf(u) u=ax+by+cu=a+bf(u)
  • 分离变量写成: d u a + b f ( u ) = d x \frac{du}{a+bf(u)} =dx a+bf(u)du=dx
  • 两边积分得出 ∫ d u a + b f ( u ) = ∫ d x \int\frac{du}{a+bf(u)} = \int dx a+bf(u)du=dx

齐次型

情况一
能写成 y ′ = f ( y x ) y'=f(\frac{y}{x}) y=f(xy)

  • y x = u \frac{y}{x}=u xy=u换元
  • 分离变量,也就是 y = u x ⇒ d y d x = u + x d u d x y=ux\Rightarrow \frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx} y=uxdxdy=u+xdxdu
  • 由此可得出原方程为 x d u d x + u = f ( u ) ⇒ d u f ( u ) − u = d y y x\frac{du}{dx}+u=f(u)\Rightarrow \frac{du}{f(u)-u}=\frac{dy}{y} xdxdu+u=f(u)f(u)udu=ydy
  • 两边同时积分得

情况二
能写成 1 y ′ = f ( x y ) \frac{1}{y'}=f(\frac{x}{y}) y1=f(yx)

  • x y = u \frac{x}{y}=u yx=u换元
  • 分离变量,也就是 x = u y ⇒ d x d u = u + y d u d y x=uy\Rightarrow \frac{dx}{du}=u+y\frac{du}{dy} x=uydudx=u+ydydu
  • 由此可得出原方程为 y d u d y + u = f ( u ) ⇒ d u f ( u ) − u = d y y y\frac{du}{dy}+u=f(u)\Rightarrow \frac{du}{f(u)-u}=\frac{dy}{y} ydydu+u=f(u)f(u)udu=ydy
  • 两边同时积分得

一阶线性型

能写成 y ′ + p ( x ) y = q ( x ) y'+p(x)y=q(x) y+p(x)y=q(x)的情形:

  • 直接使用公式法: y = e − ∫ p ( x ) d x [ e ∫ p ( x ) d x q ( x ) d x + C ] y=e^{-\int p(x)dx}[e^{\int p(x)dx}q(x)dx+C] y=ep(x)dx[ep(x)dxq(x)dx+C]
    TIPS:部分微分方程可以通过换元得到一阶线性型

二、二阶可降阶微分方程

y ′ ′ = f ( x , y ′ ) y''=f(x,y') y′′=f(x,y)情形(缺y)

  1. 缺少y则令 y ′ = p y'=p y=p y ′ ′ = p ′ y''=p' y′′=p,并且将原方程变换为 d p d x = f ( x , p ) \frac{dp}{dx}=f(x,p) dxdp=f(x,p)
  2. 求得通解 y ′ = p = g ( x , C 1 ) y'=p=g(x,C_1) y=p=g(x,C1),则 y = ∫ g ( x , C 1 ) d x + C 2 y=\int g(x,C_1)dx+C_2 y=g(x,C1)dx+C2

y ′ ′ = f ( y , y ′ ) y''=f(y,y') y′′=f(y,y)情形(缺少x)

  1. 缺少x,令 y ′ = p y'=p y=p y ′ ′ = d p d x = d p d y ⋅ d y d x = d p d y ⋅ p y''=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}=\frac{dp}{dy}\cdot p y′′=dxdp=dydpdxdy=dydpp,这样就将原方程变为一阶方程 p d p d y = f ( y , p ) p\frac{dp}{dy}=f(y,p) pdydp=f(y,p)
  2. 按照一阶方程求解并且还原

三、高阶常系数微分方程

1.能写成 y ′ ′ + p y ′ + q y + f ( x ) y''+py'+qy+f(x) y′′+py+qy+f(x)形式的

在这里插入图片描述

2.能写成 y ′ ′ + p y ′ + q y = f 1 ( x ) + f 2 ( x ) y''+py'+qy=f_1(x)+f_2(x) y′′+py+qy=f1(x)+f2(x)形式的

在这里插入图片描述

3.通解和特解的求解

通解:
在这里插入图片描述
特解:
在这里插入图片描述
对于k值的求解,需要遵循一看二算三比较的方法

四、n阶导数微分方程

在这里插入图片描述

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