∫ 0 1 ln ( 1 + x ) ( 2 − x ) 2 d x \int_{0}^{1}\frac{\ln (1+x)}{(2-x)^2}\,{\rm d}x ∫01(2−x)2ln(1+x)dx
根据题目的特点,有对数函数、有理函数,两种不同类型的函数相乘,对此,应用分部积分法。
当出现对数后,使用分部积分法时,应将除对数函数之外的部分凑到d后面去。
原式
=
∫
0
1
ln
(
1
+
x
)
d
1
2
−
x
原式=\int_{0}^{1}\ln(1+x)\,{\rm d}{\frac{1}{2-x}}
原式=∫01ln(1+x)d2−x1
=
ln
(
1
+
x
)
2
−
x
∣
0
1
−
∫
0
1
1
2
−
x
d
(
ln
(
1
+
x
)
)
=\frac{\ln (1+x)}{2-x}|_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\frac{1}{2-x}\,{\rm d}{(\ln (1+x))}
=2−xln(1+x)∣01−∫012−x1d(ln(1+x))
=
ln
2
+
∫
0
1
1
(
x
−
2
)
(
x
+
1
)
d
x
=\ln2+\int_{0}^{1}\frac{1}{(x-2)(x+1)}\,{\rm d}x
=ln2+∫01(x−2)(x+1)1dx
=
ln
2
+
1
3
ln
∣
x
−
2
x
+
1
∣
∣
0
1
=\ln2+\frac{1}{3}\ln \lvert \frac{x-2}{x+1} \rvert|_{0}^{1}
=ln2+31ln∣x+1x−2∣∣01
=
ln
2
+
1
3
(
−
ln
2
−
ln
2
)
=\ln 2+\frac{1}{3}(-\ln2 -\ln2)
=ln2+31(−ln2−ln2)
=
1
3
ln
2
=\frac{1}{3}\ln 2
=31ln2