Floating Point 浮点数

浮点主要通过移动二进制小数点来表示尽可能大的取值范围，兼顾尽可能高的精度，同时还要受到位数有限的限制。

分数二进制示例

值          二进制表示       十进制
5  3/4      101.11           2^2 + 2^0 + 1/2^1 + 1/2^2 
2  7/8      10.111           2^1 + 1/2^1 + 1/2^2 + 1/2^3
1  7/16     1.0111           2^0 + 1/2^2 + 1/2^3 + 1/2^4

• 分数除以2，就是小数点二进制右移1位。
• 乘以2， 就是小数点左移1位
• 数字0.111111111… 小于 1，无限接近于1
  • 1/2 + 1/4 + 1/8 + … + 1/2^i + … -> 1.0
  • 记为 1.0 - ε

能代表的数

• 只能精确地表示x/2k形式的数字

• 其他有理数有重复的位表示

值      二进制表达                      十进制
1/3     0.01010101010101[01]...         1/2^2 + 1/2^4 + 1/2^6 + 1/2^8 + ...
1/5     0.001100110011[0011]...         1/2^3 + 1/2^4 + 1/2^7 + 1/2^8 + ...
1/10    0.0001100110011[0011]...        1/2^4 + 1/2^5 + 1/2^8 + 1/2^9 + ...

浮点数的表示方式

同一标准：

(–1)^s*M*2^E

看着是不是像二进制科学计数法。

• 符号位s: 决定了数是正数还是负数
• 显著值M（mantissa，小数部分）： 通常是在[1.0,2.0]范围内的分数值。
• 指数E（exponent）： 以2的幂表示值的权重

浮点数编码

• s 符号位
• exp 字段编码E（但是不等于E）
• frac 字段编码M （但是不等于M）

不同精度：

• 单精度：32 位(bits)
  字段所占位数： s:exp:frac -> 1:8:23

• 双精度: 64 位(bits)
  字段所占位数： s:exp:frac -> 1:11:52

规格化值

当exp != 000…0 , 并且exp != 111…1

指数编码有一个偏置值：E = Exp - Bias
Exp : exp字段，无符号值
Bias = 2^(k-1) -1
k 表示指数的位数

• 取值范围
  单精度：k=8, Bias = 2^(8-1) - 1 = 127 (1 <= Exp <= 254, -126 <= E <= 127)
  双精度： k=11，Bias = 2^(11-1) - 1 = 1023 (1 <= Exp <= 2046, -1022 <= E <= 1023)

• 用隐含前导编码的有效数 1: M = 1.xxxxxx 二进制
  xxxxx: 表示frac 字段编码
  最小值：frac = 000…0(M=1.0)
  最大值：frac = 111…1(M=2.0-ε)

注意： M 是固定前面有一个1，所以最小值才是1开始。

规格化值编码示例

• 值
  Float F = 15213.0
  15213 十进制 = 11101101101101 二进制
  = 1.1101101101101 * 2^13 科学计数法

• 有效数
  M（小数） = 1.1101101101101 二进制
  frac（小数部分编码） = 1101101101101 0000000000 二进制

• 指数
  E = 13
  Bias = 127
  Exp = 140 = 10001100 二进制

• 结果
  

非规格化的值

非规格化条件：exp = 000…0

指数值：E = 1 - Bias(注意：不是E = 0 - Bias)
以隐含前导0编码的有效数：M = 0.xxx…x

案例：

• exp = 000…0, frac = 000…0
  代表0值
• exp = 000…0, frac != 000…0
  最接近0.0的数字。
  平均间隔。

特殊值

特殊值条件：exp = 111…1

案例：

• exp = 111…1, frac = 000…0
  代表无穷大。
  操作溢出。
  例如：正无穷大：1.0/0.0 = -1.0/-0.0 ， 负无穷大：1.0/-0.0

• exp = 111…1, frac != 000…0
  Not-a-Number(NaN)
  表示无法确定数值时的情况。
  例如：sqrt(-1), 无穷大*0

示例

我们用简单的8位浮点数表示法，来理解浮点数。

s: 1位符号位
exp: 4位指数位, 偏置位bias=2^(4-1)-1=7
frac: 3位小数位

s exp  frac E Value                 计算                                        备注
0 0000 000 -6 0                     (-1)^0 * 0 * 2^(-6)
0 0000 001 -6 1/8*1/64 = 1/512      (-1)^0 * 2^(-3) * 2^(-6)                    // 最接近0值
0 0000 010 -6 2/8*1/64 = 2/512      (-1)^0 * 2^(-2) * 2^(-6)        
…
0 0000 110 -6 6/8*1/64 = 6/512      (-1)^0 * 2^(-1)*2^(-2) * 2^(-6)  
0 0000 111 -6 7/8*1/64 = 7/512      (-1)^0 * 2^(-1)*2^(-2)* 2^(-3) * 2^(-6)     // 最大的非规格化值
0 0001 000 -6 8/8*1/64 = 8/512      (-1)^0 * 1 * 2^(-6)                             // 最小的规格化值
0 0001 001 -6 9/8*1/64 = 9/512      (-1)^0 * （1 + 2^(-3)） * 2^(-6)  
…
0 0110 110 -1 14/8*1/2 = 14/16      (-1)^0 * (1 + 2^(-1)*2^(-2)) * 2^(-1)  
0 0110 111 -1 15/8*1/2 = 15/16      (-1)^0 * (1 + 2^(-1)*2^(-2)* 2^(-3)) * 2^(-1)                // 最接近1的（小于1的数）
0 0111 000 0  8/8*1 = 1             (-1)^0 * 1 * 2^0
0 0111 001 0  9/8*1 = 9/8           (-1)^0 * (1 + 2^(-3)) * 2^0                // 最接近1的（大于1的数）
0 0111 010 0  10/8*1 = 10/8         (-1)^0 * (1 + 2^(-2)) * 2^0
…
0 1110 110 7  14/8*128 = 224        (-1)^0 * (1 + 2^(-1)*2^(-2)) * 2^7
0 1110 111 7  15/8*128 = 240        (-1)^0 * (1 + 2^(-1)*2^(-2)* 2^(-3)) * 2^7             // 最大的规格化数
0 1111 000 7  inf                   

值的计算公式：v = (–1)^s * M * 2^E
规格化数: E = Exp – Bias
非规格化数: E = 1 – Bias

IEEE 编码的一些特殊属性

• 浮点数（FP）的0值和整型0值一样
  所有的位都是0

• 除了非数字(NaN)之外，你可以比较任何浮点数。
  当作无符号数来比较。

四舍五入，相加，相乘

四舍五入

基本思想：

• 先计算得到一个准确的值
• 然后根据你期望的精度进行处理
  • 如果指数太大的化，可能会溢出
  • 可能需要四舍五入来满足小数位数(frac)

四舍五入的模式

                $1.40   $1.60   $1.50   $2.50   –$1.50
向0舍入         $1      $1      $1      $2      –$1
向下舍入        $1      $1      $1      $2      –$2
向上舍入        $2      $2      $2      $3      –$1
向偶数舍入      $1      $2      $2      $2      –$2

向0舍入：向0的方向舍去小数。
向下舍入：类似向下取整
向上舍入：类似向上取整
向偶数舍入：在四舍五入的基础上，考虑向偶数靠近，主要是在中位数时的处理方式和四舍五入不同。

二进制数的四舍五入

奇数是1，0是偶数。
二进制中间数100…，十进制中间数是500…

精度时小数后两位：

Value   Binary  Rounded     Action  Rounded     Value
2       3/32    10.000112   10.002  (<1/2—down) 2
2       3/16    10.001102   10.012  (>1/2—up)   2 1/4
2       7/8     10.111002   11.002  ( 1/2—up)   3
2       5/8     10.101002   10.102  ( 1/2—down) 2 1/2

浮点数乘积

相乘：((–1)^s1 * M1 * 2^E1) x ((–1)^s2 * M2 * 2^E2)
准确值：: (–1)^s * M * 2^E
符号位 s: s1 ^ s2
有效位 M: M1 x M2
指数位 E: E1 + E2

修正：

• 如果 M >= 2, M 右移，增加E
• 如果E 超出范围，溢出
• 四舍五入 M 来符合精度要求。

浮点数加法

相加：((–1)^s1 * M1 * 2^E1) + ((–1)^s2 * M2 * 2^E2)
假设：E1 > E2

准确值：: (–1)^s * M * 2^E
符号位 s, 有效位 M： 对齐相加
指数位E: E1

修正：

• 如果 M >= 2, 右移M， 增加E。（小数点右移）
• 如果 M < 1, 左移 M 的 k 个位置， 减少 E 的 k。（小数点左移）
• 如果E超出范围溢出
• 将 M 适应小数（frac）精度

浮点数的一些数学性质

浮点数加法的数学性质：

• 与阿贝尔群的比较
  • 加法封闭: 满足
    • 但是可能产生 无穷大和NaN
  • 结合律：满足
  • 交换律：不满足
    • 进行四舍五入时，可能溢出和不精确
    • (3.14+1e10)-1e10 = 0, 3.14+(1e10-1e10) = 3.14
    • 每个元素都有可加逆：几乎满足
      • 除了无穷大和NaN
• 单调性
  • a ≥ b ⇒ a+c ≥ b+c ： 几乎满足
    • 除了无穷大和NaN

浮点数乘法的数学性质和加法是类似的。

浮点数在C中

无符号和有符号的转换，从未改变过位的表示（位上的实际值），只是改变了某些位的解释方式。

整数，单精度浮点数，双进度浮点数的转换，位的表示发生了变化(实际值改变了)，会对位的值产生实际影响。

• double/float -> int
  • 截取小数部分
  • 就像向0舍入
• int -> double
  精确的转换，只要int（32） <= 53 位大小。
• int -> float
  将会进行四舍五入操作。

类型转换的比较

三个不同类型的变量：

int x = …;
float f = …;
double d = …;

一些特性的比较：

* x == (int)(float) x           // false
• x == (int)(double) x          // true
• f == (float)(double) f        // true
• d == (double)(float) d        // false
• f == -(-f);                   // true
• 2/3 == 2/3.0                  // false. 2/3=0 整数, 2/3.0 是浮点数。
• d < 0.0 ⇒ ((d*2) < 0.0)       // true, 浮点数即使溢出也是负无穷大数
• d > f ⇒ -f > -d               //  true, 单调性
• d * d >= 0.0                  // true 
• (d+f)-d == f                  // false, 不满足结合律

《深入理解计算机系统》书籍学习笔记

《深入理解计算机系统》学习笔记 - 第一课 - 课程简介
《深入理解计算机系统》学习笔记 - 第二课 - 位，字节和整型
《深入理解计算机系统》学习笔记 - 第三课 - 位，字节和整型
《深入理解计算机系统》学习笔记 - 第四课 - 浮点数
《深入理解计算机系统》学习笔记 - 第四课 - 机器级别的程序