波束方向图的参数有：

1. 3dB带宽(半功率波束宽度，HPBW，half-power beamwidth)
2. 到第一零点距离(这个距离的两倍称为$B{W}_{NN}$)
3. 到第一旁瓣的距离
4. 第一旁瓣的高度
5. 其余零点的位置
6. 旁瓣的衰减速率
7. 栅瓣

波束方向图的主波束

3dB波束宽度

3dB波束宽度是描述波束宽度的一个度量。

定义如下：

$$|B_u(u){|}^2=0.5$$

或

$$|B_u(u)|=1/\sqrt{2}$$

因此，可以通过$B_u(u)$的值等于$1/\sqrt{2}$来确定$u$空间的半功率点。

3dB波束宽度也称为半功率波束宽度，用式子表示为

$$\Delta u_1=0.891\frac{\lambda }{Nd}$$

到第一零点的距离和其余零点的位置

**零点：**波束方向图出现零点的情况为$B_u(u)$的分子为零，分母不为零。

即：

$$sin(\frac{\pi Nd}{\lambda }u)=0$$

$$sin(\frac{\pi d}{\lambda }u)\ne 0$$

则

$$\frac{\pi Nd}{\lambda }u=m\pi ，m=1,2,\dots$$

$$\frac{\pi d}{\lambda }u\ne m\pi ，m=1,2,\dots$$

化简为

$$u=m\frac{\lambda }{Nd}，m=1,2,\dots$$

$$u\ne m\frac{\lambda }{d}，m=1,2,\dots$$

则第一个零点的位置为$\lambda /Nd$。

到第一零点的距离为$2\frac{\lambda }{Nd}$，又称为零点-零点波束宽度，表示为$B{W}_{NN}$。$B{W}_{NN}$的一半是到第一零点的距离。这个量衡量了阵列分辨两个不同平面波的能力，也称为瑞利限。如果第二个波束方向图的峰值在第一个波束方向图的第一零点之外，则认为这两个平面波是可以分辨的。

到第一旁瓣的距离、第一旁瓣的高度和旁瓣的衰减速率

旁瓣的极大值的位置出现在$B_u(u)$的分子逼近极大值的情况下，即：

$$sin(\frac{\pi Nd}{\lambda }u)=1$$

则

$$\frac{\pi Nd}{\lambda }u{=}_{-}^{+}(2m+1)\frac{\pi }{2}，m=1,2,\dots$$

化简

$$u{=}_{-}^{+}\frac{2m+1}{N}\frac{\lambda }{2d}，m=1,2,\dots$$

因此，第一旁瓣的峰值出现的位置为：

$$u{=}_{-}^{+}\frac{3}{N}\frac{\lambda }{2d}$$

第一旁瓣极大值为：

$$B_u{(}_{-}^{+}\frac{3}{N}\frac{\lambda }{2d})==\frac{1}{N}\frac{1}{sin(\frac{3\pi }{2N})}$$

旁瓣的衰减速率

旁瓣的主要位置为：

$$u{=}_{-}^{+}\frac{2m+1}{N}\frac{\lambda }{2d}，m=1,2,\dots$$

因此旁瓣的衰减速率为:

$$\frac{1}{2m+1}$$

栅瓣

栅瓣：和主瓣一样高的波瓣。栅瓣发生在当$B_u(u)$的分子和分母均为零的时候。因此栅瓣的出现间隔为：

$$\frac{\pi d}{\lambda }u=m\pi$$

即

$$u=m\frac{\lambda }{d}$$

假如阵列的间距大于$\lambda$，则栅瓣的峰值出现在信号传播区域以内，即在$|u|\le 1$的区域以内，因此会产生峰值响应的模糊。

阵列需要的调向范围为$0\le \theta \le \pi$，则需要

$$\frac{d}{\lambda }\le \frac{1}{2}$$

将$d=\frac{\lambda }{2}$的均匀线阵称为标准线阵。

阵元间距对波束方向图的影响：

仿真代码：

clc;
close all;
clear all;

c = 3e8;
f0 = 77e9;
lambda = c / f0;
d = [lambda / 4 , lambda / 2, lambda];
d_str = {'lambda / 4','lambda / 2','lambda'};
N = 10; %阵元个数
u = -3:0.0001:3;
figure('color','w');
for i = 1:1:length(d)
    Bu = 1/N * sin(N*pi*d(i)/lambda*u) ./ sin(pi*d(i)/lambda*u);
    Bu_dB = 10*log10(abs(Bu).^2); %db
    subplot(3,1,i);
    plot(u,Bu_dB);xlabel('u');ylabel('频率-波束响应函数(dB)');
    xlim([-3,3]);ylim([-25,5]);
    legend(d_str(i));
end