题目描述

快递小哥每天都辛苦的送快递，今天他需要送N份快递给N个收件人，第i份快递需要送给第i个收件人。 请问其中发生恰好K个送错了的情况数是多少？

输入

存在多样例。 每行输入两个整数N和K，1≤N≤1000,0≤K≤N。 如果两个都为0，则表示输入结束，这个样例不需要处理。

输出

每行输出一个样例的结果，因为数值会比较大，所有结果需要对109+7取模。

样例输入

1 1
2 1
3 2
1000 1000
0 0

样例输出

0
0
3
37043040

AC代码

#include<stdio.h>
#define mod 1000000007
#define N 1005
#define ll long long
ll dp[N][N]={};//杨辉三角
ll D[N]={};//错排 
void init(){
	int i,j;
	D[2]=1;
	for(i=3;i<N;i++){
		D[i]=(i-1)*(D[i-1]+D[i-2])%mod;
	}
    for(i=0;i<N;i++){
		dp[i][0]=1;
		dp[i][i]=1;
	}
	for(i=1;i<N;i++){//动态规划思想 
		for(j=1;j<i;j++){
			dp[i][j]=(dp[i-1][j]+dp[i-1][j-1])%mod;
		}
	}
} 
int main()
{
	init();
	int n,k;
	while(scanf("%d%d",&n,&k)!=EOF){
		if(n==0&&k==0)break;
		if(k==0)printf("1\n");
		else{
			printf("%I64d\n",D[k]*dp[n][k]%mod);
		} 
	}
}

解题思路：动态规划+错排思想，动态规划可参考1354 Robot这道题。先求出n个元素错误排列数，即D（n）,再就是从n个元素取k个元素的方案数,就是求组合数C(n,k),C(n,k)*D(n)即为恰好K个送错了的情况数。

求组合数，杨辉三角求组合数是很常用的一种方法。为什么杨辉三角可以求组合数呢？分析如下

杨辉三角

dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i-1][j-1]

dp[i][0]=dp[i][i]=1

组合数

这和杨辉三角的表示是一样的，所以可以用杨辉三角表示组合数。

错排

考虑一个有n个元素的排列，若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上，那么这样的排列就称为原排列的一个错排。n个元素的错排数记为D(n)。

错排公式

D(n)=(n-1)(D(n-1)+D(n-2))

初始值：D(1)=0,D(2)=1

要注意考虑特殊值：当k=0时，即全部送对，只有一种情况。