【每日一题】【12.14】2132.用邮票贴满网格图

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2132. 用邮票贴满网格图https://leetcode.cn/problems/stamping-the-grid/

今天的每日一题又是一道恶心的困难题目，花了四个小时才完全理解所谓的二维前缀和二维差分的方法来解决这道题。

在这个算法中，我们需要解决两个问题：

1.贴邮票时，如何快速判断右下角固定范围内不存在被占据的格子，而都是空格子呢？
2.最后做检查时，如何快速判断每个空格子都被邮票覆盖呢？

第一步：定义两个二维数组

 int m = grid.size();
        int n = grid[0].size();
       //定义两个数组
       vector<vector<int>> sum(m + 2, vector<int>(n + 2,0));
       vector<vector<int>> diff(m + 2, vector<int>(n + 2,0));//两个数组左右都超出去2为了简化边界情况

定义一个二维向量 sum，用于存储网格元素的前缀和。这里使用 m + 2 和 n + 2 来构建比原始网格大一圈的二维向量，目的是为了简化边界条件的处理。

第二步：将前缀和导入sum数组

 //将前缀和导入sum数组
     for(int i = 1; i <= m; i++){
         for(int j =1; j <= n; j++){
             sum[i][j] = sum[i][j-1] + sum[i-1][j] -sum[i-1][j-1] + grid[i-1][j-1]; 
         }
     }

第三步：检查在网络中可能的印章位置（从[i][j]到[x][y]）

for(int i = 1; i + stampHeight -1 <= m; i++){
           for(int j =1; j +stampWidth -1 <=n; j++){
               int x = i + stampHeight -1;
               int y = j + stampWidth -1;
               if(sum[x][y] - sum[x][j-1] -sum[i-1][y] + sum[i-1][j-1] ==0) {
                   diff[x+1][y+1]++;
                   diff[i][y+1]--;
                   diff[x+1][j]--;
                   diff[i][j]++;
               }
           }
       }

检查在网格中的可能印章位置。通过遍历网格，在满足印章大小的条件下，检查印章能否覆盖整个区域。如果印章可以覆盖，则更新 diff 数组。这种标记更新的方法是基于差分数组（difference array）的思想。通过增加和减少标记来标识印章所覆盖的区域，以便后续检查未覆盖区域的情况。

第四步：检查diff数组的标记情况

for(int i = 1; i <= m; i++){
           for(int j=1; j <= n; j++){
               diff[i][j] += diff[i-1][j] + diff[i][j-1] -diff[i-1][j-1];
               if(diff[i][j] == 0 && grid[i-1][j-1] == 0){
                   return false;
               }
           }
       }
       return true;
    }

最后的循环用于检查 diff 数组中的标记情况。如果发现某个位置上的标记为0，并且对应的原始网格上也为0，说明有未覆盖的区域，返回 false；否则，返回 true 表示可以成功覆盖整个网格。

这里值得注意的是

   if(diff[i][j] == 0 && grid[i-1][j-1] == 0)

在代码中，涉及到 grid[i - 1][j - 1] 这样的索引操作。这样的索引操作中使用了 i - 1 和 j - 1 的形式，是因为数组的索引通常是从0开始而不是从1开始。对于 diff 数组，它记录的是覆盖状态的变化情况，不同于 grid 数组记录的是原始网格中各个位置的值。在这个特定的算法中，diff 数组用于追踪覆盖状态的变化，因此在对其进行访问和更新时，通常不需要对索引进行 -1 的处理。

五、完整代码

这道题目就最终完成了，完整代码为：

class Solution {
public:
    bool possibleToStamp(vector<vector<int>>& grid, int stampHeight, int stampWidth) {
        int m = grid.size();
        int n = grid[0].size();
       //定义两个数组
       vector<vector<int>> sum(m + 2, vector<int>(n + 2,0));
       vector<vector<int>> diff(m + 2, vector<int>(n + 2,0));//两个数组左右都超出去2为了简化边界情况
       //将前缀和导入sum数组
     for(int i = 1; i <= m; i++){
         for(int j =1; j <= n; j++){
             sum[i][j] = sum[i][j-1] + sum[i-1][j] -sum[i-1][j-1] + grid[i-1][j-1]; 
         }
     } 
       for(int i = 1; i + stampHeight -1 <= m; i++){
           for(int j =1; j +stampWidth -1 <=n; j++){
               int x = i + stampHeight -1;
               int y = j + stampWidth -1;
               if(sum[x][y] - sum[x][j-1] -sum[i-1][y] + sum[i-1][j-1] ==0) {
                   diff[x+1][y+1]++;
                   diff[i][y+1]--;
                   diff[x+1][j]--;
                   diff[i][j]++;
               }
           }
       }
       for(int i = 1; i <= m; i++){
           for(int j=1; j <= n; j++){
               diff[i][j] += diff[i-1][j] + diff[i][j-1] -diff[i-1][j-1];
               if(diff[i][j] == 0 && grid[i-1][j-1] == 0){
                   return false;
               }
           }
       }
       return true;
    }
};