数据结构（七）：树介绍及面试常考算法

一、树介绍

1、定义

树形结构是一种层级式的数据结构，由顶点（节点）和连接它们的边组成。 树类似于图，但区分树和图的重要特征是树中不存在环路。树有以下特点：

（1）每个节点有零个或多个子节点；

（2）没有父节点的节点称为根节点；

（3）每一个非根结点有且只有一个父节点；

（4）除了根结点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树；

2、优缺点及使用场景

优点：清晰的层级关系，快速查找，动态添加、删除和修改节点。

缺点：存在冗余存储，插入和删除的复杂性，高度不平衡等。

适用场景：层次关系、分类和搜索、表达关系和数据可视化等。

3、遍历方法

（1）深度遍历--先序（根-左-右）  

（2）深度遍历--中序（左-根-右）

（3）深度遍历--后序（左-右-根）

先序：【2, 1, 3, 6, 4, 8, 5】

中序：【1, 6, 3, 2, 8, 4, 5】

后序：【6, 3, 1, 8 ,5, 4, 2】

层序：【2, 1 ,4, 3, 8, 5, 6】

（4）层序遍历--自上而下，自左而右

4、主要类型

（1）二叉树

（a）概念：节点度不超过2的树。

（b）特点

（a）每个结点最多有两颗子结点。

（b）左子树和右子树是有顺序的，次序不能颠倒。

（c）即使某结点只有一个子树，也要区分左右子树。

（c）二叉树类型

① 满二叉树：在满二叉树中，除了叶节点外，每个节点都有两个子节点，且所有叶节点都在同一层级上

② 完全二叉树：完全二叉树是指除了最后一层外，其他层都是满的，并且最后一层的节点从左到右连续存在。

③ 二叉搜索树：二叉搜索树是一种有序的二叉树，对于每个节点，其左子树的值都小于节点的值，右子树的值都大于节点的值。这种有序性质使得二叉搜索树在查找、插入和删除等操作上有很高的效率。

④ 平衡二叉树：平衡二叉树是指任意节点的左子树和右子树的高度差不超过1的二叉树。平衡二叉树可以提高插入、删除和查找等操作的效率，常见的平衡二叉树有AVL树和红黑树。

（2）AVL树

（a）介绍：AVL树是一种自平衡的二叉搜索树，它的名称来自于它的发明者Adelson-Velsky和

Landis。AVL树通过在插入和删除节点时进行旋转操作来保持树的平衡。

（b）平衡调整：在AVL树中，每个节点都带有一个平衡因子（balance factor），它表示节点的左

子树高度与右子树高度之差。平衡因子可以是-1、0或1，如果平衡因子的绝对值大于1，就表示树

失去了平衡，需要进行平衡调整。AVL树的平衡调整通过四种旋转操作来完成。

（c）AVL树的特点：

① 平衡性：在AVL树中，任意节点的左子树和右子树的高度差不超过1。

② 严格的排序性：AVL树是一种二叉搜索树，它保持了节点的严格排序性。对于每个节点，左子树中的所有节点都小于该节点，右子树中的所有节点都大于该节点。

（3）红黑树

（a）介绍：红黑树（Red-Black Tree）是一种自平衡的二叉搜索树，它通过对节点进行颜色标记

和旋转操作来保持树的平衡。

（b）红黑树的特点

① 节点颜色：每个节点被标记为红色或黑色。这是红黑树的核心特征之一。

② 平衡性：红黑树通过一些规则来维持平衡性。具体规则如下：

  • 根节点是黑色。
  • 所有叶节点（NIL节点或空节点）是黑色。
  • 如果一个节点是红色，那么它的两个子节点都是黑色。
  • 从任意节点到其每个叶子节点的路径上，包含相同数量的黑色节点。

③ 排序性：红黑树是一种二叉搜索树，它保持了节点的严格排序性。对于每个节点，左子树中的所有节点都小于该节点，右子树中的所有节点都大于该节点。

二、面试关于树结构常考算法

1、求二叉树的高度

题目：给定一颗二叉树，求该数的高度，例如，如下二叉树的高度是4。

思路：有两种方法来求解二叉树的高度，一是递归二是迭代。

递归方法通过递归调用求解左子树和右子树的高度，并取较大值加1得到二叉树的高度。

迭代方法使用层序遍历，每遍历完一层，高度加1，直到遍历完所有节点。

#include<iostream>
#include <algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
struct BinaryTreeNode
{
    struct BinaryTreeNode* left;
    struct BinaryTreeNode* right;
    int data;  
    BinaryTreeNode(int x): data(x), left(NULL),right(NULL) {}
};

// 迭代方法
int FindHeightofTree(BinaryTreeNode* root){
    if (root == nullptr) {
        return 0; // 空树高度为0
    }
    int count = 0;
    while(root != NULL){
        if(root->left || root->right){
            count += 1;
            if(root->left){
                root = root->left;
                continue;
            } 
            if(root->right){
                root = root->right;
                continue;
            } 
        } 
        root = NULL;

    }
    return count + 1;
}

// 递归方法
int getHeight(BinaryTreeNode* root){
    if (root == nullptr) {
        return 0; // 空树高度为0
    }
    int leftHeight = getHeight(root->left);
    int rightHeight = getHeight(root->right);
    return 1 + std::max(leftHeight, rightHeight);
}

int main(){
    BinaryTreeNode* root = new BinaryTreeNode(2);
    root->left = new BinaryTreeNode(1);
    root->right = new BinaryTreeNode(4);
    root->left->right = new BinaryTreeNode(3);
    root->right->left = new BinaryTreeNode(8);
    root->left->right->left = new BinaryTreeNode(5);
    // 递归法
    int res = FindHeightofTree(root);
    // 迭代法
    int res1 = getHeight(root);
    cout<< res1;
    cout<< res;
    // 释放内存，防止内存泄漏
    delete root->left->right->left;
    delete root->right->left;
    delete root->left->right;
    delete root->left;
    delete root->right;
    delete root;
}

  

2、在二叉搜索树中查找第K个最大值

 题目：如下二叉搜索树，给定k = 5，[19, 18, 17, 16, 15, 12, 9, 5, 3]，则下列二叉搜索树中第5个最大值为15。

思路：二叉搜索树（BST）的后序遍历实际是对树节点的升序排列。所以同第一题，有递归法和迭代法实现BST的中序遍历，遍历后再逆序，返回第k个最大值。

迭代法实现中序遍历：使用一个栈来实现迭代法的中序遍历。先遍历树的左子树，如果当前节点存在左子树，则将当前节点压入栈，直到没有左子树，则记录栈顶元素（temp），并弹出。在遍历当前节点（temp）的右子树。

#include<iostream>
#include<vector>
#include<stack>
#include<algorithm>
using namespace std;

struct BinaryTreeNode{
    BinaryTreeNode* left;
    BinaryTreeNode* right;
    int val;
    BinaryTreeNode(int x): val(x), left(NULL), right(NULL){}
};
int getNthMaxFromTree2(BinaryTreeNode* root, int k){
    vector<int> res;
    stack<BinaryTreeNode*> s;
    BinaryTreeNode* temp;
    //非递归中序遍历
    while(root != NULL || !s.empty()){
        if(root){
            s.push(root);
            root = root->left;
        }
        else{
            temp = s.top();
            s.pop();
            cout << temp->val<<",";
            res.push_back(temp->val);
            root = temp->right;   
        }

    }
     // 降序
    sort(res.rbegin(),res.rend());
    cout << endl;
    for(auto c: res){
        cout<< c << "-";
    }
    return res[k-1]; 
 }


int main(){
    BinaryTreeNode* root = new BinaryTreeNode(12);
    root->left = new BinaryTreeNode(5);
    root->right = new BinaryTreeNode(18);
    root->left->left = new BinaryTreeNode(3);
    root->left->right = new BinaryTreeNode(9);
    root->right->left = new BinaryTreeNode(15);
    root->right->right = new BinaryTreeNode(19);
    root->right->left->right = new BinaryTreeNode(17);
    root->right->left->right->left = new BinaryTreeNode(16);
    int val = getNthMaxFromTree2(root, 5);
    cout << endl <<val;
    // 释放内存，防止内存泄漏
    delete root->right->left->right->left;
    delete root->right->left->right;
    delete root->right->right;
    delete root->right->left;
    delete root->left->right;
    delete root->left->left;
    delete root->right;
    delete root->left;
    delete root;
}

 

3、查找与根节点距离K的节点

题目：如下二叉树，给定k = 2， 输出与根节点距离2的节点[3， 8， 5]。

思路： 可以使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）来遍历二叉树，并记录每个节点的距离。当找到距离为K的节点时，将其存储起来。

广度优先搜索（BFS）+队列：我们可以在遍历每一层节点时，将该节点的子节点加入队列（size--控制循环），并记录它们的距离。当距离等于K时，将该节点的值存储起来。

深度优先搜索（DFS）+栈：使用一个栈来存储当前节点和距离的信息。在每次循环中，取出栈顶元素，检查当前距离是否等于K，如果是，则将该节点的值存储到结果数组中。然后，将当前节点的子节点按照右子节点先入栈，左子节点后入栈，并将距离加1。这样，我们可以确保在深度优先搜索中，离根节点更远的节点会在栈中先被访问。

#include<iostream>
#include<stack>
#include<queue>
#include<map>

using namespace std;
typedef int BTDataType;
struct BinaryTreeNode
{
    struct BinaryTreeNode* _pLeft;
    struct BinaryTreeNode* _pRight;
    BTDataType _data;
    BinaryTreeNode(int x): _data(x), _pLeft(NULL), _pRight(NULL){}
    
};

// 二叉树的广度优先遍历+队列实现（非递归）
vector<int> LevelOrder(BinaryTreeNode* root, int k){
    queue<BinaryTreeNode*> que; //使用一个队列来存储当前层的节点
    BinaryTreeNode* temp;
    int distance;
    vector<int> res;
    if(root) que.push(root);
    while(!que.empty()){
        // 记录队列中的节点个数
        int size = que.size();
        if(distance == k){
            while(!que.empty()){
                res.push_back(que.front()->_data);
                que.pop();
            }
            break;
        }
        // 用size--控制循环处理当前层的节点(当前层所有节点出队，下层节点入队)
        while(size--){
        temp = que.front();
        que.pop();
        // cout << temp->_data << ",";
        if(temp->_pLeft) que.push(temp->_pLeft);
        if(temp->_pRight) que.push(temp->_pRight);
    }
    distance++;
}
 return res;   
}


// 二叉树的深度优先遍历（先序）+栈实现（非递归）
vector<int> getKdistanceInOrder(BinaryTreeNode* root, int k){
    vector<int> res;
    stack<pair<BinaryTreeNode*, int>> s; //栈用来存储节点和当前距离
    if(root) s.push({root, 0});
    while(!s.empty()){
        BinaryTreeNode* p = s.top().first;
        int distance = s.top().second;
        s.pop();
        if(distance == k) res.push_back(p->_data); //当距离等于K时，将该节点的值存储起来。
        if(p->_pRight) s.push({p->_pRight, distance + 1});
        if(p->_pLeft) s.push({p->_pLeft, distance + 1});
        
    }
    return res;
}

int main(){
    BinaryTreeNode* root = new BinaryTreeNode(2);
    root->_pLeft = new BinaryTreeNode(1);
    root->_pRight = new BinaryTreeNode(4);
    root->_pLeft->_pRight = new BinaryTreeNode(3);
    root->_pRight->_pLeft = new BinaryTreeNode(8);
    root->_pRight->_pRight = new BinaryTreeNode(7);
    root->_pLeft->_pRight->_pLeft = new BinaryTreeNode(5);
    vector<int> res = LevelOrder(root, 2);
    for(auto c: res){
        cout << c << ",";
    }
    cout << endl;
    vector<int> res2 = getKdistanceInOrder(root, 2);
    for(auto b: res2){
        cout << b << ",";
    }
    // 释放内存
    delete root->_pLeft->_pRight->_pLeft;
    delete root->_pRight->_pRight;
    delete root->_pRight->_pLeft;
    delete root->_pLeft->_pRight;
    delete root->_pRight;
    delete root->_pLeft;   
    
}

4、在二叉树中查找给定节点的祖先节点

祖先节点(Ancestor)：沿树根到某一结点路径上的所有结点都是这个结点的祖先结点。

题目：如下二叉树，给定节点值6，打印节点6的祖先节点 [3, 1, 2]。

思路： 使用递归方法，检查当前节点是否为空，为空就返回false。如果当前节点不为空，检查是否为目标节点，如果是返回true。接下来，递归地在左子树和右子树中查找目标节点，如果在左子树或右子树中找到了目标节点，则将当前节点的值添加到结果数组中，并返回true。如果左子树和右子树都没有找到目标节点，则返回false。

#include<iostream>
#include<vector>
#include<stack>
#include<algorithm>
using namespace std;

struct BinaryTreeNode{
    BinaryTreeNode* left;
    BinaryTreeNode* right;
    int val;
    BinaryTreeNode(int x): val(x), left(NULL), right(NULL){}
};

bool findAncestorsDFS(BinaryTreeNode* root, int target, vector<int>& ancestors) {
    if (root == nullptr) {
        return false;
    }

    if (root->val == target) {
        return true;
    }

    if (findAncestorsDFS(root->left, target, ancestors) || findAncestorsDFS(root->right, target, ancestors)) {
        ancestors.push_back(root->val);
        return true;
    }

    return false;
}


int main(){
    BinaryTreeNode* root = new BinaryTreeNode(2);
    root->left = new BinaryTreeNode(1);
    root->right = new BinaryTreeNode(4);
    root->left->right = new BinaryTreeNode(3);
    root->right->left = new BinaryTreeNode(8);
    root->right->right = new BinaryTreeNode(5);
    root->left->right->left = new BinaryTreeNode(6);
    int target = 6;
    vector<int> ancestors;
    bool res = findAncestorsDFS(root, target, ancestors);
    cout << "节点 " << target << " 的祖先节点值为：";
    for (int val : ancestors) {
        std::cout << val << " ";
    }
    std::cout << std::endl;
}

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