数独 -- 合法数独与完全数独

一、数独的介绍

从2004年底开始，数独游戏在英国变得非常流行。数独(Sudoku)是一个日语单词意思是数字位置之类的单词(或短语)。谜题的理念非常简单;面对一个9 × 9的网格，被分成9个3 × 3的块:

在其中的一些盒子里，设置者放一些数字1-9:求解者的目的是通过在每个盒子里填一个数字来完成网格，这样每一行，每一列，每个3 × 3的盒子都只包含1-9的每个数字一次。

在这里，我们讨论枚举所有可能的数独网格的问题。这是一个非常自然的问题，但是，也许令人惊讶的是，这个问题似乎不太可能有一个简单的组合答案。事实上，数独网格只是拉丁方格的特殊情况，拉丁方格的枚举本身就是一个难题，没有已知的一般组合公式。已知9 × 9的拉丁平方数为5524751496156892842531225600 ≈ 5.525 × 10^27。由于这个答案是巨大的，我们需要大大改进我们的搜索，以便能够在合理的计算时间内得到答案。

1、初步观察

我们的目标是计算有效数独网格的数量。在下面的讨论中，我们将把这些块称为B1-B9，它们被标记在这里：

首先注意，在重新标记之后，我们可以假设左上角的块(B1)是由：

对于任意一个合法数独，我都可以通过1-9数字的一对一映射，将B1块转化为这种标准形式，例如：

转化为

按照：4→1、5→2、8→3、1→4、7→5、9→6、2→7、3→8、6→9即可得到这种标准形式

这种重新标记过程将网格的数量减少了9! = 362880倍。我们被简化为计算左上角是这种标准形式的非数独网格的数量。

从广义上讲，我们的策略是考虑所有可能的方法来填充块B2, B3，因为B1是上面的规范形式，将问题减少到较小的搜索空间。这形成我们强力搜索的外环。对于内部循环，我们找出所有可能的方法来完成块B2和B3转换为全网格。

2、B2块和B3块

在这里，我们尝试有效地对B2块和B3块的可能性进行分类。我们将对如何找到一个相对较小的B2块和B3块列表进行长时间的讨论，这将使我们能够给出最终答案。(其中一些缩减也可以应用于B4和B7块，以加快搜索速度，尽管一旦B2/B3固定，许多缩减步骤不能以同样的方式在B4/B7上执行)。

2.1、最上面一排积木

我们想要列出前三个块的所有可能配置，假设第一个块是标准形式。我们来看看第二个块的最上面一行。它要么由(以某种顺序)B1块的第2行或第3行的三个数字组成，要么是两者的混合。我们将这种情况称为“纯净”和“混合”情况。B2块和B3块可能的顶行由下式给出：

(其中{a, b, c}表示数字a, b和c的任意顺序)。

纯净顶行{4,5,6} {7,8,9}可以补全如下:

得到 (3!)^6 【注：一个{}中有3!种排列，B2和B3共6个{}】可能的配置。

然而，混合顶行可以通过多种方式完成;例如，最上面的行{4,5,7} {6,8,9}可以补全为:

其中a, b和c分别代表1,2和3，以某种顺序，给出 3×(3!)^6 种可能的配置(b和c是可互换的，及abc等价acb，所以abc的组合就3种)。

为什么下图红框内是{8, 9, a}

首先我们应该清楚，这个红框初步来看，应该是可以填{1,2,3,8,9}，然而第一行和第三行中已经有{8,9}了，所以{8,9}必有，然后{1,2,3}任选其一，所以红框内是{8, 9, a}。同理可分析剩余3组，得到的就是 (图3) 的结果。

我们有2个纯净顶行和18个混合顶行(图1)。

因此，总的来说，我们有2*(3!)^6+18*3*(3!)^6=56*(3!)^6 = 2612736个可能的补全到前三块。

2.2、优化减少外部循环

在这个阶段，我们有一个B2块和B3块的所有可能性的列表。我们将遍历所有这些可能性，并为每个可能性填充剩余的块以形成有效的数独网格。外部循环将运行可能的B2块和B3块。然而，遍历B2和B3的所有 (2612736 种) 可能性将非常耗时。我们需要某种方法来减少我们必须循环的可能性的数量。我们将在这些块中确定数字的配置，这些配置为完整的网格提供了相同数量的完成方式。有效地，我们定义了B2/B3组态集合上的等价关系，使得同一类中的任意两个元素可以以相同数量的方式完成。

幸运的是，我们可以应用很多操作来保持数独网格的数量不变。我们已经看到了重新标签的操作。但也有其他的，例如，如果我们交换B2和B3，那么每一种将B2-B3完成为完整网格的方式都会给我们一种将B3-B2完成为完整网格的唯一方式(只需交换B5和B6，以及B8和B9)。事实上，我们可以用任何我们选择的方式排列B1 B2和B3(尽管这改变了B1，但我们可以重新标记使B1回到标准形式)。此外，我们可以以我们希望的任何方式排列任何块中的列，对完整网格中的列执行相同的操作。我们看到B1-B3上有许多操作，这些操作给出了其他可能的顶部块，它们以相同数量的方式完成完整的网格。

2.2.1 辞典编纂的减少

取上面提到的 2612736 种可能性。我们首先将它们分类如下:

1. 我们首先对B2和B3中的列进行排列，使第一个项按递增顺序排列。

2. 然后，如果有必要，我们交换B2和B3，这样在字典中B2就会出现在B3之前（“词典顺序”）。

第一步将原本是3!种排列变成了1种递增顺序的排列，有B2和B3两个块，这样，给定任何一个网格，有(3!)^2 = 36 个网格衍生出相同数量的完成方法。

第二步是将B2B3或B3B2变成一种递增词典顺序，及减少两倍。

总的来说，我们将需要考虑的可能性数量减少了72倍，我们的目录中有 2612736/72=36288 种可能性。这将我们的搜索减少到36288，这是可行的，尽管更多的减少是可取的。

然而，它为我们的缩减提供了一个良好的开端，将我们的目录缩减到可以更好地控制单个条目的大小。

2.2.2 精致的排列和重新标签

事实上，我们还没有充分利用所有的排列和重新标记的可能性。其思想是遍历36288种可能性的三个块B1-B3的所有排列3!，以及这三个块中所有列的排列3!^3，使每个有6^4 = 1296种可能性。

然后，我们查看新的第一个块，并重新标记它，使其成为标准形式，类似地重新标记B2和B3，然后对结果使用字典法约简。这再次提供了一个巨大的改进，将目录的大小减少到只有2051个可能的B2/B3对。(这2051对中的绝大多数恰好来自36288种可能性中的18 = 6^4/72。然而，有些是由更少的可能性产生的，因此有必要准确存储36288种可能性中产生给定块的可能性。)但这还不是全部我们可以对构型的三行进行3!种排列。也就是说，我们可以选择这些行的任意排列，然后将B1重新标记为标准形式。这进一步减少了测试区块B2和B3的416种可能性。

上面说的2051种或416种可能性，这些需要进行程序遍历才能得到，不能理解那我举一个例子，你可能就明白了：

现在有两个【B1B2B3】的组合，它们两都是36288中的一种可能。

S1                   S2
123 456 789           123 456 789
456 789 123           456 978 312
789 231 564           789 312 645
我们可以通过交换1、3两行，然后标准化和B2B3顺序化，使得它们等价
交换S2的1、3两行 R(1,3)，得到
789 312 645
456 978 312
123 456 789
然后将B1标准化，得到【1->7，2->8，3->9，4->4，5->5，6->6，7->1，8->2，9->3】
123 978 645
456 312 978
789 456 123
再然后B2、B3首列排序【978->789 645->456 第二列和第三列也要跟着动哦！】
123 789 456
456 123 789
789 564 231

最后将B2与B3首列首个数字排序【7>4 交换B2和B3块】
123 456 789
456 789 123
789 231 564
这个是不是就和S1一样了
所以这就是减少可能组合的过程，全部的36288个我们只有通过程序将它们都找出来

现在你懂的起了吧！

2.2.3 深度优化减少外部循环

虽然这种改进非常有用，但我们能做的削减越多，程序完成得就越快。的确，改善我们的外循环还有更多的可能性。下面是数独格子中最前面三行可能的排列方式:

考虑数字1和4的位置:

让我们重新标记以交换这两个数字:

很容易看出，任何完成这三个方块的网格也完成了相同的三个方块，在B1/B2中，1和4颠倒了:

因此，扩展原始三行的方法数与扩展这三行的方法数相同，因此我们只需计算一次。请注意，对于第2列和第9列中的数字5和8，以及第3列和第6列中的数字6和9，也可以执行相同的操作。我们要求B1的一列中的两个数字在B2/B3的一列中出现在相同的位置(当然，顺序相反)。然后，我们可以交换这些数字的其他两次出现。以下排列允许不少于六对数字:

该方法的扩展允许我们识别具有大小为2 × k(分别为k × 2)的子矩形的任意两个配置，其条目由具有相同数字的两列(分别为行)组成。

仅对2x2个子矩形使用此技巧将416个等价类减少到174个。使用2 × 3,3 × 2和4 × 2矩形可将这个列表减少到只有71个类。

这就完成了我们对区块B2和B3的讨论。

2.3、外部B1B2B3块的结论

编写了一个lua程序，生成所有36288个按字典顺序约简的配置，然后基于上述等价关系构建等价关系，即确定这些等价关系生成的关系的自反性、对称性和传递性外壳。然后程序生成一个代表类的列表和每个等价类的大小。实际上，选择的代表是对应等价类的字典顺序最小的成员。在最初的计算中，并非所有这些等价都实现了;我们将外部循环减少到运行306个类。随后，这些程序又在71名代表中进行了一次运行。得到的答案是一样的。

以下是71个类：

[456789,789123,123456]、[456789,789123,123465]、[456789,789123,123564]
[456789,789123,132465]、[456789,789123,132546]、[456789,789123,132564]
[456789,789123,231564]、[456789,789123,231645]、[456789,789132,123546]
[456789,789132,132546]、[456789,789132,213456]、[456789,789132,213546]
[456789,789132,213645]、[456789,789132,213654]、[456789,789132,231546]
[456789,789132,231564]、[456789,789132,231645]、[456789,789231,123645]
[456789,789231,132546]、[456789,789231,231564]、[456789,789231,231645]
[456789,789231,312456]、[456789,798132,213546]、[456789,798132,213645]
[456789,798132,231546]、[456789,798213,213564]、[456789,798213,213654]
[456789,897312,312564]、[457689,189237,263145]、[457689,189237,263154]
[457689,189237,263514]、[457689,189237,362145]、[457689,189237,362154]
[457689,189273,263145]、[457689,189273,263154]、[457689,189273,263514]
[457689,189273,362154]、[457689,189273,623154]、[457689,189273,632154]
[457689,189273,632514]、[457689,189327,362145]、[457689,189723,623145]
[457689,189723,623154]、[457689,189723,623514]、[457689,189723,632154]
[457689,189732,623514]、[457689,198723,236514]、[457689,198723,326514]
[457689,198723,632514]、[457689,198732,632514]、[457689,289137,361245]
[457689,289137,361254]、[457689,289137,631524]、[457689,289173,163452]
[457689,289173,613245]、[457689,289173,613254]、[457689,289731,163245]
[457689,289731,613254]、[457689,289731,613542]、[457689,298137,316245]
[457689,298137,316254]、[457689,298713,316245]、[457689,389271,612534]
[457689,389712,612345]、[457689,398217,126345]、[457689,398217,612345]
[457689,398721,126345]、[457689,398721,216354]、[457689,398721,612345]
[457689,891723,236514]、[457689,893271,216354]

看不懂是吧，我教你

对于[457689,893271,216354]

结果为

B2 B3

457 689

893 271

216 354

B1不用说当然是标准形式啦，完整的是

B1 B2 B3

123 457 689

456 893 271

789 216 354

3、内循环

3.1、左侧的块:B4和B7

对左列的完全相同的分析给出了左三列的可能补全数为56 x(3!)6 = 2612736(再次假设左上角的块是规范形式)。同样，我们可以对B4的行进行排列，或对B7的行进行排列，或交换B4和B7，使用词典法约简方法将其减少72倍至36288。上述一些缩减方法可用于进一步缩减B4/B7目录的规模。

然而，在这个阶段，我们已经充分减少了B2/B3目录的大小，因此不需要对B4/B7目录进行完全优化。实际上，编写程序的第一作者认为，只对B4和B7的720个可能的第一列(第一列中剩余数字{2,3,5,6,8,9}的所有排列)运行循环更简单。同样，通过重新排序B4和B7的行，并在必要时交换B4和B7，我们将这些第一列的可能性减少到只有10种，而不存储其余的数据。如前所述，此时预测的运行时间非常低——在单个PC上只有几个小时——因此，通过循环处理所有区块B4和B7的可能性目录所获得的可能的加速，通过上面列出的一些方法减少，几乎不值得实现。