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796. 子矩阵的和

题目难度：简单

题目描述

输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个询问，每个询问包含四个整数 $x_1,y_1,x_2,y_2$，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。

输入格式

第一行包含三个整数 n，m，q。

接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。

接下来 q 行，每行包含四个整数 $x_1,y_1,x_2,y_2$，表示一组询问。

输出格式

共 q 行，每行输出一个询问的结果。

数据范围

1≤n,m≤1000,
1≤q≤200000,
1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m,
−1000≤矩阵内元素的值≤1000

输入样例：

3 4 3
1 7 2 4
3 6 2 8
2 1 2 3
1 1 2 2
2 1 3 4
1 3 3 4 

输出样例：

17
27
21 

题目分析

对于一维的前缀和，就是求某一段的前缀和，这道题是二维数组中的前缀和，是求任意区域的数字之和

如果每一次询问都是暴力算的话，复杂度其实是极高的，因此同样的，我们还是需要用前缀和的做法

对于这个前缀和矩阵，其中的每一个数，就代表了包括这个数和他左上角的所有数的和

第一个问题就是如何计算这个前缀和矩阵，我们的公式是什么，这里我们就可以运用一下数学中容斥原理的思想，或者可以理解为图形面积的加减

例如

我们是想要计算（2，3）的数字，实际上就需要用（1，3）的数字加上（2，2）的数字，也就是黄色（包括绿色）加上蓝色（包括绿色），但是这样我们就把绿色加了两遍，因此需要减去一个绿色的（1，2），这样我们就算除了原本（2，3）对应的数字剩下数字的和，最后只需要加上（2，3）原本的数字即可

用公式表示就是

$S_{x,y}=S_{x-1,y}+S_{x,y-1}-S_{x-1,y-1}+a_{x,y}$

利用这个公式就可以计算出前缀和数组了

第二个问题就是，假设我们已经有了前缀和数组，我们如何快速算出子矩阵的和是多少，这里的数学原理是与之前一样的

我们想要计算蓝色部分的子矩阵和，其实只需要用对应的前缀和矩阵的（3，3）（包括黄色绿色橙色），减去（1，3）（包括橙色绿色），减去（3，1）（包括黄色绿色），这里绿色被减去了两次，因此我们需要再加回来一次，加上（1，1）（绿色）即可

我们使用$(x_1,y_1)$表示子矩阵左上角的坐标，用$(x_2{,}_{y}2)$表示右下角的坐标，最终结果用公式表示就是

$ans=S_{x_2,y_2}-S_{x_2,y_1-1}-S_{x_1-1,y_2}+S_{x_1-1,y_1-1}$

这就是二维前缀和的思想

示例代码

#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 1010; // 数据范围

int n, m, q;
int arr[N][N], pre[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m >> q;
    for (int i = 1; i <= n; i++) // 数据输入
    {
        for (int j = 1; j <= m; j++)
        {
            cin >> arr[i][j];
            pre[i][j] = pre[i - 1][j] + pre[i][j - 1] - pre[i - 1][j - 1] + arr[i][j]; // 计算前缀和矩阵
        }
    }
    while (q--)
    {
        int x1, y1, x2, y2;
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
        cout << pre[x2][y2] - pre[x1 - 1][y2] - pre[x2][y1 - 1] + pre[x1 - 1][y1 - 1] << '\n'; // 计算子矩阵的和
    }
    return 0;
}