【非监督学习 02】高斯混合模型

高斯混合模型（Guassian Mixed Model, GMM）也是一种常见的聚类算法，与K均值算法类似，同样使用了EM算法进行迭代计算。高斯混合模型假设每个簇的数据都是符合高斯分布的，当前数据呈现的分布就是各个簇的高斯分布叠加在一起的结果。

图5.6是一个数据分布的样例，如果只用一个高斯分布来拟合图中的数据，图中所有的椭圆即为高斯分布的二倍标准差所对应的椭圆。直观来说，图中的数据明显分为两簇，因此只用一个高斯分布来拟合是不太合理的，需要推广到用多个高斯分布的叠加来对数据进行拟合。

图5.7是用两个高斯分布的叠加来拟合得到的结果。这就引出了高斯混合模型，即用多个高斯分布函数的线性组合来对数据分布进行拟合。理论上，高斯混合模型可以拟合出任意类型的分布。

高斯混合模型的核心思想是什么？

说起高斯分布，大家都不陌生，通常身高、分数等都大致符合高斯分布。因此，当我们研究各类数据时，假设同一类的数据符合高斯分布，也是很简单自然的假设；当数据事实上有多个类，或者我们希望将数据划分为一些簇时，可以假设不同簇中的样本各自服从不同的高斯分布，由此得到的聚类算法称为高斯混合模型。

高斯混合模型的核心思想是，假设数据可以看作从多个高斯分布中生成出来的。在该假设下，每个单独的分模型都是标准高斯模型，其均值 $\mu_i$ 和方差 $\Sigma_i$ 是待估计的参数。此外，每个分模型都还有一个参数 $\pi_i$ ，可以理解为权重或生成数据的概率。高斯混合模型的公式为

$p(x)=\sum\limits_{i=1}^K \pi_iN(x|\mu_i,\Sigma_i)$

高斯混合模型是一个生成式模型。可以这样理解数据的生成过程，假设一个最简单的情况，即只有两个一维标准高斯分布的分模型N(0,1)和N(5,1)，其权重分别为0.7和0.3。那么，在生成第一个数据点时，先按照权重的比例，随机选择一个分布，比如选择第一个高斯分布，接着从N(0,1)中生成一个点，如-0.5，便是第一个数据点。在生成第二个数据点时，随机选择到第二个高斯分布N(5,1)，生成了第二个点4.7。如此循环执行，便生成出了所有的数据点。

是如何迭代计算的？

然而，通常我们并不能直接得到高斯混合模型的参数，而是观察到了一系列数据点，给出一个类别的数量K后，希望求得最佳的K个高斯分模型。因此，高斯混合模型的计算，便成了最佳的均值 $\mu$ ，方差 $\Sigma$ 、参数 $\pi$ 的寻找，这类问题通常通过最大似然估计来求解。遗憾的是，此问题中直接使用最大似然估计，得到的是一个复杂的非凸函数，目标函数是和的对数，难以展开和对其求偏导。

在这种情况下，可以使用EM算法框架来求解该优化问题。EM算法是在最大化目标函数时，先固定一个变量使整体函数变为凸优化函数，求导得到最值，然后利用最优参数更新被固定的变量，进入下一个循环。具体到高斯混合模型的求解，EM算法的迭代过程如下。

首先，初始随机选择各参数的值，然后，重复下述两步，直到收敛。

（1）E步骤。根据当前的参数，计算每个点由某个分模型生成的概率。

（2）M步骤。使用E步骤估计出的概率，来改进每个分模型的均值方差和权重。

也就是说，我们并不知道最佳的K个高斯分布的各自3个参数，也不知道每个数据点究竟是哪个高斯分布生成的。所以每次循环时，先固定当前的高斯分布不变，获得每个数据点由各个高斯分布生成的概率。然后固定该生成概率不变，根据数据点和生成概率，获得一个组更佳的高斯分布。循环往复直到参数不再变化，或者变化非常小时，便得到了比较合理的一组高斯分布。

高斯混合模型与K均值算法的相同点是，他们都是用于聚类的算法；都需要指定K值；都是使用EM算法来求解；都往往只能收敛与局部最优。

而它相比于K均值算法的优点是，可以给出一个样本属于某类概率是多少；不仅仅可以用于聚类，还可以用于概率密度的估计；并且可以用于生成新的样本点。

示例代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.mixture import GaussianMixture
from sklearn.datasets import make_blobs

# 生成一些样本数据
np.random.seed(42)
X, _ = make_blobs(n_samples=300, centers=4, cluster_std=1.0, random_state=42)

# 使用高斯混合模型进行拟合
gmm = GaussianMixture(n_components=4, random_state=42)
gmm.fit(X)

# 预测每个样本所属的簇
labels = gmm.predict(X)

# 获取高斯混合模型的均值和协方差矩阵
means = gmm.means_
covariances = gmm.covariances_

# 绘制样本数据和簇中心
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=labels, cmap='viridis', s=50, alpha=0.7)
plt.scatter(means[:, 0], means[:, 1], marker='X', c='red', s=200, label='Cluster Centers')
plt.title('Gaussian Mixture Model')
plt.legend()
plt.show()

这个例子中，我们使用make_blobs函数生成一些聚类样本数据，然后使用GaussianMixture类拟合这些数据。通过调整n_components参数，你可以指定模型中的高斯分量数量。最后，我们绘制样本数据以及模型学到的簇中心。实际应用中，根据你的数据集和问题对代码进行调整。