【图形学】探秘图形学奥秘：DDA与Bresenham算法的解密与实战

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🔥 系列专栏：《图形学 | 图像解码》
⏰诗赋清音：云生高巅梦远游，星光点缀碧海愁。山川深邃情难晤，剑气凌云志自修。

🌌1. 初识模式识别

🌌2. 开发环境的使用及基本图形生成

🌍2.1 开发环境及实现

🌍2.2 实验目的

🌍2.3 实验要求

🌍2.4 实验原理

🌕2.4.1 DDA算法画直线

🌕2.4.2 Bresenham算法画直线

🌕2.4.3 DDA算法画圆

🌕2.4.4 Bresenham算法画圆

🌍2.5 实验步骤

🌕2.5.1 DDA算法代码实现画直线

🌕2.5.2 Breasenham 算法实现画直线

🌕2.5.3 DDA算法代码实现画圆

🌕2.5.4 Breasenham算法代码实现画圆

🌍2.6 研究体会

📝总结

🌌1. 初识模式识别

图形学技术是一门涉及计算机图形和图像处理的学科，其目标是通过算法和数学模型来创建、处理和呈现图形和图像。这项技术的应用范围非常广泛，涵盖了许多领域，包括计算机游戏、虚拟现实、计算机辅助设计（CAD）、医学图像处理、动画制作等。

以下是图形学技术的一些关键方面：

图形生成和渲染： 图形学技术用于生成和呈现视觉图像。这包括三维图形的创建、光照、阴影、颜色和纹理等方面的处理，以产生逼真的图形。

计算机辅助设计（CAD）： 在工程学和设计领域，图形学技术被广泛用于创建和编辑数字化的设计图纸，促进设计过程的可视化和交互。

计算机游戏和虚拟现实： 图形学技术是游戏开发和虚拟现实领域的核心。它用于创建游戏中的角色、场景、特效以及虚拟现实环境，提供沉浸式的视觉体验。

医学图像处理： 在医学领域，图形学技术被用于处理和呈现医学图像，如CT扫描、MRI等，以协助医生进行诊断和手术规划。

动画制作： 图形学技术是制作动画的关键。通过在计算机上生成图形帧并进行渲染，动画制作得以实现。

图像处理： 图形学技术也包括对静态图像的处理，如图像编辑、滤镜应用、图像合成等。

在图形学技术的发展中，硬件加速、实时渲染、虚拟现实和增强现实等方面的创新不断推动着图形学的前沿。这门技术为数字世界的可视化和交互提供了强大的工具和方法。

🌌2. 开发环境的使用及基本图形生成

🌍2.1 开发环境及实现

语言: C++
平台: Microsoft Visual Studio 2022

🌍2.2 实验目的

熟悉开发环境。
生成基本图形如直线和二次曲线。
掌握计算机生成直线以及修改直线属性的方法。

🌍2.3 实验要求

熟悉 Microsoft Visual Studio 2022 开发环境。
使用 DDA 算法和 Bresenham 算法分别生成直线和圆。

🌍2.4 实验原理

🌕2.4.1 DDA算法画直线

DDA是数字微分分析式（Digital Differential Analyzer）的缩写。已知直线两端点(x1,y1)、(x2,y2)，则斜率m为：

m = (y2-y1)/(x2-x1)= Dx/Dy;

直线中的每一点坐标都可以由前一点坐标变化一个增量（Dx, Dy）而得到，垠)育v1["vI~5,L,`?!_[d即表示为递归式：

xi+1=xi+Dx yi+1=yi+Dy

递归式的初值为直线的起点（x1, y1），这样，就可以用加法来生成一条直线。

🌕2.4.2 Bresenham算法画直线

本算法由Bresenham在1965年提出。设直线从起点（x1, y1）到终点（x2, y2）。直线可表示为方程y=mx+b。其中

b = y1 - m * x1,

m = (y2-y1)/(x2-x1)=dy/dx

我们的讨论先将直线方向限于1a象限在这种情况下，当直线光栅化时，x每次都增加1个单元，即

xi+1=xi+1。而y的相应增加应当小于1。为了光栅化，yi+1只可能选择如下两种位置之一。

yi+1的位置选择yi+1=yi 或者 yi+1=yi+1。选择的原则是看精确值y与yi及yi+1的距离d1及d2的大小而定。计算式为：

y=m(xi+1)+b

d1=y-yi

d2=yi+1-y

如果d1-d2>0，则yi+1=yi+1，否则yi+1=yi。因此算法的关键在于简便地求出d1-d2的符号。将式（2.1.1）、（2.1.2）、（2.1.3）代入d1-d2，得

d1-d2=2y-2yi-1=2（dy/dx） (xi+1)-2yi+2b-1

用dx乘等式两边，并以Pi=dx(d1-d2)代入上述等式，得

Pi=2xidy-2yidx+2dy+dx(2b-1)

d1-d2是我们用以判断符号的误差。由于在1a象限，dx总大于0，所以Pi仍旧可以用作判断符号的误差。Pi-1为：

Pi+1=Pi+2dy-2dx(yi+1-yi)

误差的初值P1，可将x1, y1，和b代入式（2.1.4）中的xi, yi而得到：

P1=2dy-dx

综述上面的推导，第1a象限内的直线Bresenham算法思想如下：

1．画点(x1, y2); dx=x2-x1; dy=y2-y1；

计算误差初值P1=2dy-dx; i=1；

2．求直线的下一点位置：

xi+1=xi+1；

if Pi>0 则yi+1=yi+1；

否则yi+1=yi；

3．画点（xi+1, yi-1）；

4．求下一个误差Pi+1；

if Pi>0 则Pi+1=Pi+2dy-2dx;

否则Pi+1=Pi+2dy；

5．i=i+1; if i<dx+1则转2；否则结束。

🌕2.4.3 DDA算法画圆

假定某点Pi(xi, yi)已经是该圆弧上最接近实际圆弧的点，那么Pi的下一个点只可能是正右方的P1或右下方的P2两者之一

构造判别函数：

F(x, y）= x2 + y2 – R2

当F(x, y）= 0，表示点在圆上，当F(x, y）> 0，表示点在圆外，当F(x, y）< 0，表示点在圆内。如果M是P1和P2的中点，则M的坐标是（xi + 1, yi – 0.5），当F（xi + 1, yi – 0.5）< 0时，M点在圆内，说明P1点离实际圆弧更近，应该取P1作为圆的下一个点。同理分析，当F（xi + 1, yi – 0.5）> 0时，P2离实际圆弧更近，应取P2作为下一个点。当F（xi + 1, yi – 0.5）= 0时，P1和P2都可以作为圆的下一个点，算法约定取P2作为下一个点。

现在将M点坐标（xi + 1, yi – 0.5）带入判别函数F(x, y），得到判别式d：

d = F（xi + 1, yi – 0.5）= (xi + 1)2 + (yi –0.5)2 – R2

若d < 0，则取P1为下一个点，此时P1的下一个点的判别式为：

展开后将d带入可得到的递推关系：d’ = d + 2xi + 3

若d > 0，则取P2为下一个点，此时P2的下一个点的判别式为：

d’ = F（xi + 2, yi – 1.5）= (xi + 2)2 + (yi –1.5)2 – R

展开后将d带入可得到判别式的递推关系：d’ = d + 2(xi - yi) + 5

特别的，在第一个象限的第一个点（0, R）时，可以推倒出判别式d的初始值d0：

d0 = F(1, R – 0.5) = 1 – (R – 0.5)2 –R2 = 1.25 – R

🌕2.4.4 Bresenham算法画圆

Bresenham算法画圆生成算法思路如下:

①求误差初值,p0=3- 2r,i=1,画点(0,r)

②求下一个点的y坐标,其中xi+1=xi+1,如果pi<0则yi+1=yi,否则yi+1=yi-1

③画点(xi+1,yi+1)

④计算下一个误差,如果pi<0则pi+1=pi+4xi+6,否则pi+1=pi+4(xi-yi)+10

⑤i=i+1,如果x=y则结束,否则返回步骤②。

🌍2.5 实验步骤

（1）在Microsoft Visual Studio 2022环境下创建名为BmpRead的MFC应用程序工程（单文档）

（2）编程实现DDA算法和算法画直线，同时利用两种算法画圆。

🌕2.5.1 DDA算法代码实现画直线

#include <gl\glut.h>
#include <math.h>
#include <stdio.h>
#include <Windows.h>
#include <conio.h>
#include <easyx.h>

void DDA(int X0, int Y0, int Xn, int Yn)
{
	int dx = Xn - X0;
	int dy = Yn - Y0;
	int steps, direction;
	float xIncrement, yIncrement;
	float x = X0, y = Y0;
	if (abs(dx) > abs(dy))
	{
		steps = abs(dx);
		direction = 0;
	}
	else
	{
		steps = abs(dy);
		direction = 1;
	}
	xIncrement = float(dx) / float(steps);
	yIncrement = float(dy) / float(steps);
	//画点
	glBegin(GL_POINTS);
	for (int k = 0; k <= steps; ++k)
	{
		if (direction == 0)
		{
			glVertex2i(int(x), int(y + 0.5));
		}
		else
		{
			glVertex2i(int(x + 0.5), int(y));
		}
		x += xIncrement;
		y += yIncrement;
	}
	glEnd();
}

void display()
{
	glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);
	DDA(0, 0, 800, 1000);//调用函数
	glFlush();
}
void draw_pixel(int ix, int iy)
{
	glBegin(GL_POINTS);
	glVertex2i(ix, iy);
	glEnd();
}

void myinit()
{
	glClearColor(1.0, 0.8, 1.0, 1.0);
	glColor3f(0.0, 0.5, 0.5);
	glPointSize(1.0);
	glMatrixMode(GL_PROJECTION);
	glLoadIdentity();
	gluOrtho2D(0.0, 1000.0, 0.0, 1000.0);
}
int main(int argc, char** argv)
{
	glutInit(&argc, argv);
	glutInitDisplayMode(GLUT_SINGLE | GLUT_RGB);
	glutInitWindowSize(600, 500);
	glutInitWindowPosition(150.0, 150.0);
	glutCreateWindow("DDA画直线");
	glutDisplayFunc(display);
	myinit();
	glutMainLoop();
}

运行结果：

🌕2.5.2 Breasenham 算法实现画直线

#include <gl\glut.h>
#include <math.h>
#include <stdio.h>
#include <Windows.h>
#include <conio.h>
#include <easyx.h>

void Bresenham(int x0, int y0, int x1, int y1) {
	void draw_pixel(int, int);
	int dx = abs(x1 - x0), dy = abs(y1 - y0), p = 2 * dy - dx;
	int Dy2 = 2 * dy, Dx2 = 2 * dy - 2 * dx;
	int x, y;
	if (x0 > x1) {
		x = x1; y = y1;
		x1 = x0;
	}
	else {
		x = x0;
		y = y0;
	}
	draw_pixel(x, y);
	while (x < x1) {
		x++;
		if (p < 0)
			p += Dy2;
		else {
			y++;
			p += Dx2;
			draw_pixel(x, y);
		}
	}
}


void display()
{
	glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);
	Bresenham(0, 0, 800, 800);//调用函数
	glFlush();
}
void draw_pixel(int ix, int iy)
{
	glBegin(GL_POINTS);
	glVertex2i(ix, iy);
	glEnd();
}

void myinit()
{
	glClearColor(1.0, 0.8, 1.0, 1.0);
	glColor3f(0.0, 0.5, 0.5);
	glPointSize(1.0);
	glMatrixMode(GL_PROJECTION);
	glLoadIdentity();
	gluOrtho2D(0.0, 1000.0, 0.0, 1000.0);
}
int main(int argc, char** argv)
{
	glutInit(&argc, argv);
	glutInitDisplayMode(GLUT_SINGLE | GLUT_RGB);
	glutInitWindowSize(600, 500);
	glutInitWindowPosition(150.0, 150.0);
	glutCreateWindow("Bresenham算法画直线");
	glutDisplayFunc(display);
	myinit();
	glutMainLoop();
}

运行结果：

🌕2.5.3 DDA算法代码实现画圆

#include<iostream>
#include<graphics.h>
#include<conio.h>
#include<time.h>
#include<math.h>
#include<stdlib.h>
#include<stdio.h>
using namespace std;


/*中点画圆*/
void MidpointCircle(int x0, int y0, int r, int color)
{
	int x = 0, y = r;
	float d = 5.0 / 4 - r;
	while (x <= y) {
		putpixel(x0 + x, y0 + y, color);
		putpixel(x0 + x, y0 - y, color);
		putpixel(x0 - x, y0 + y, color);
		putpixel(x0 - x, y0 - y, color);
		putpixel(x0 + y, y0 + x, color);
		putpixel(x0 + y, y0 - x, color);
		putpixel(x0 - y, y0 + x, color);
		putpixel(x0 - y, y0 - x, color);
		if (d < 0)
			d += x * 2.0 + 3;
		else {
			d += 2.0 * (x - y) + 5; y--;
		}
		x++;
	}
}


void main()
{
	int x0, y0, x1, y1;
	initgraph(640, 480);
	setbkcolor(YELLOW);
	cleardevice();
	MidpointCircle(300, 200, 90, BLACK);

	_getch();
	closegraph();
}

运行结果：

🌕2.5.4 Breasenham算法代码实现画圆

#include <GL/glut.h> 
#include<math.h>
#include<iostream>
#include <easyx.h>
using namespace std;
GLfloat pointsize = 1.0f;
void Bresenham(int x0,int y0,GLint R) {
	int x1 = x0, y1 = y0;
	GLint a = 0;
	GLint y = (int)(R * 1.0 / (sqrt(2)));
	GLfloat d0 = 1.25 - R;
	GLfloat d;
	glPointSize(pointsize);
	GLint cx = 0, cy = R;
	glVertex2i(0, 0);
	while (a <= y) {
		glVertex2i(x1+a, y1+cy);
		glVertex2i(x1-a, y1-cy);
		glVertex2i(x1-a, y1+cy);
		glVertex2i(x1+a, y1-cy);
		glVertex2i(x1+cy,y1-a);
		glVertex2i(x1-cy,y1-a);
		glVertex2i(x1-cy, y1+a);
		glVertex2i(x1+cy, y1+a);
		a++;
		if (d0 <= 0) {
			d0 = d0 + 2 * a + 3;
			cy = cy;
		}
		else {
			d0 = d0 + 2 * (a - cy) + 5;
			cy = cy - 1;
		}
	}

}

void display()
{
	glClearColor(1.0, 0.8, 1.0, 1.0);
	glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);
	glColor3f(0.0, 0.0f, 0.0f);
	glBegin(GL_POINTS);
	Bresenham(0,100,100); //调用函数
	glEnd();
	glFlush();
}
void draw_pixel(int ix, int iy)
{
	glBegin(GL_POINTS);
	glVertex2i(ix, iy);
	glEnd();
}

void myinit()
{
	glClearColor(1.0, 0.8, 1.0, 1.0);
	glColor3f(0.0, 0.5, 0.5);
	glPointSize(1.0);
	glMatrixMode(GL_PROJECTION);
	glLoadIdentity();
	gluOrtho2D(0.0, 1000.0, 0.0, 1000.0);
}

int main(int argc, char** argv)
{
	glutInit(&argc, argv);
	glutInitDisplayMode(GLUT_SINGLE | GLUT_RGB);
	glutInitWindowPosition(100, 100);
	glutInitWindowSize(600, 600);
	glutCreateWindow("Breasenham算法画圆");
	glClearColor(1.0, 1.0, 1.0, 1.0);
	glMatrixMode(GL_PROJECTION);
	glLoadIdentity();
	gluOrtho2D(-500.0, 500.0, -500.0, 500.0);
	glutDisplayFunc(display);
	glutMainLoop();
	return 0;
}

运行结果：

🌍2.6 研究体会

实验环境配置和头文件安装： 通过本次实验，我成功完成了所需的环境配置，并使用EasyX安装了相应的头文件。在Visual Studio 2022开发平台中，我顺利进行了C++编程，这包括了配置开发环境、安装必要的库和头文件等步骤。这为后续的图形学实验提供了一个稳定的基础。
DDA算法和Bresenham算法的实现与比较： 在实验中，我分别实现了DDA算法和Bresenham算法用于生成直线和圆。我对这两种算法的效率和精度有了更深刻的理解。Bresenham算法相较于DDA算法在速度上更快，因为它避免了直线斜率的计算和浮点数运算，只使用整数。然而，DDA算法在精度上更高，因为它使用浮点数运算，但可能不如Bresenham算法快速。了解了它们的特点，我能够在选择算法时更好地权衡速度和精度。
Visual Studio 2022开发平台和函数库的使用： 在实验中，我发现之前可用的getch()函数需要替换为_getch()。通过查询，我了解到带下划线的函数一般是函数库内部的函数，而不带下划线的一般是提供给用户使用的函数。这是为了防止用户定义的函数和函数库的函数重名冲突。这个经验使我更加熟悉了Visual Studio 2022开发平台的使用，并对函数库的命名规范有了更清晰的认识。

📝总结

图形学领域宛如一片广阔而未被完全探索的创意海洋，邀请你勇敢踏足数字艺术和计算机图形学的神秘领域。这是一场富有创意和技术挑战的学习之旅，从基础概念到算法实现，逐步揭示更深层次的图形分析、渲染技术和智能图形识别的奥秘。渴望挑战图形学的学习路径和掌握计算机艺术的技能？不妨点击下方链接，一同探讨更多数字创意的奇迹吧。我们推出了引领趋势的💻 计算机图形学专栏：《艺术之光 | 数字创新解锁》，旨在深度探索图形学技术的实际应用和创新。🌐🎨