算法的时间复杂度和空间复杂度

目录

1 如何衡量一个算法的好坏

2.时间复杂度

2.1 时间复杂度的概念

2.2 大O的渐进表示法

2.3常见代码举例

 2.3.1 Func2        O(N)

 2.3.2 Func3        O(M+N)

 2.3.3 Func4        O(1)

 2.3.4 Func5    strchr   O(N)

 2.3.5 Func6   冒泡排序     O(N^2)

 2.3.6 Func7 二分查找(折半查找)        

 2.3.7 Func8阶乘递归        O(N)

 2.3.8 Func9斐波那契递归        O(N)

3 空间复杂度

3.1 Func1冒泡排序        O(1)

3.2 Func2斐波拉契数列        O(N)

3.3 Func3阶乘函数         O(N)

3.4 Func4 区分不同调用下的空间开辟

 3.4.1

 3.4.2​

3.5 Func5 Fib

4.常见复杂度


1 如何衡量一个算法的好坏

        算法在编写成可执行程序后,运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源 。因此衡量一个算法的好坏,一般 是从时间和空间两个维度来衡量的,即 时间复杂度和空间复杂度
        时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢,而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。在计算机发展的早期,计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展,计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

2.时间复杂度

2.1 时间复杂度的概念

        时间复杂度的定义:在计算机科学中,算法的时间复杂度是一个函数,它定量描述了该算法的运行时间。一 个算法执行所耗费的时间,从理论上说,是不能算出来的,只有你把你的程序放在机器上跑起来,才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗?是可以都上机测试,但是这很麻烦,所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例 算法中的基本操作的执行次数,为算法的时间复杂度
即:找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式,就是算出了该算法的时间复杂度
Func1 执行的基本操作次数 :
F(N)=N^{2}+2*N+10 
        N = 10 F(N) = 130
        N = 100 F(N) = 10210
        N = 1000 F(N) = 1002010
        实际中我们计算时间复杂度时,我们其实并不一定要计算精确的执行次数,而只需要大概执行次数,那么这里我们使用大O的渐进表示法。

2.2 O的渐进表示法

大O符号(Big O notation):是用于描述函数渐进行为的数学符号。
推导大O阶方法:
1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2、在修改后的运行次数函数中,只保留最高阶项。
3、如果最高阶项存在且不是1,则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。
使用大O的渐进表示法以后,Func1的时间复杂度为:
O(N^{2})
        N = 10 F(N) = 100
        N = 100 F(N) = 10000
        N = 1000 F(N) = 1000000
        通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项,简洁明了的表示出了执行次数。

2.3常见代码举例

2.3.1 Func2        O(N)

 2.3.2 Func3        O(M+N)

 2.3.3 Func4        O(1)

 2.3.4 Func5    strchr   O(N)

 

有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况:
最坏情况:任意输入规模的最大运行次数(上界)
平均情况:任意输入规模的期望运行次数
最好情况:任意输入规模的最小运行次数(下界)
例如:在一个长度为N数组中搜索一个数据x
最好情况:1次找到
最坏情况:N次找到
平均情况:N/2次找到
在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况,所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

 

 2.3.5 Func6   冒泡排序     O(N^2)

最好:O(N);

(数组位置不清楚是否有序,所以至少要对相邻的两个数相互比较一次,至少比较n-1次)

最坏:O(N^2);

(第一轮比较n-1次,第二轮比较n-2次,……比较2次,最后剩最末的一对数,比较1次,等差数列 \frac{(n-1)(n-2)}{2}\rightarrow O(N^{2})

2.3.6 Func7 二分查找(折半查找)        O(log{_{2}}^{N}

最好:O(1);

最坏:log{_{2}}^{N}(不好写,在时间复杂度中,只有以2为底的才能简化为logN,其他底数不能简写,有些地方简写为lgN,但是我们不推荐这样写)

 

2.3.7 Func8阶乘递归        O(N)

 基本操作递归了N+1次,时间复杂度为O(N)

2.3.8 Func9斐波那契递归        O(N)

 现基本操作递归了2^N次,时间复杂度为O(2^N)

 2^30 10亿

2^40  10000亿

2^50  1亿亿

3 空间复杂度

        空间复杂度也是一个数学表达式,是对一个算法在运行过程中 临时占用(额外)存储空间大小的量度
        空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间,因为这个也没太大意义,所以空间复杂度算的是变量的个数。
        空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似,也使用大O渐进表示法
注意:函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了,因 此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。

3.1 Func1冒泡排序        O(1)

 创建了红色框的三个变量,常数个变量,O(1);

3.2 Func2斐波拉契数列        O(N)

         额外开辟一个数组,O(N);malloc开n+1个空间,从0-n,n+1个

3.3 Func3阶乘函数         O(N)

 

 

3.4 Func4 区分不同调用下的空间开辟

 3.4.1

 3.4.2

 即递归空间开辟原理

3.5 Func5 Fib

前面我们讲过Fib时间复杂度是O(2^N)

                           空间复杂度呢?O(N)

4.常见复杂度

 

 

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