乘积最大

题目描述

今年是国际数学联盟确定的“ 2000 ——世界数学年”，又恰逢我国著名数学家华罗庚先生诞辰 90 周年。在华罗庚先生的家乡江苏金坛，组织了一场别开生面的数学智力竞赛的活动，你的一个好朋友 XZ 也有幸得以参加。活动中，主持人给所有参加活动的选手出了这样一道题目：

设有一个长度为 NN 的数字串，要求选手使用 KK 个乘号将它分成 K+1K+1 个部分，找出一种分法，使得这 K+1K+1 个部分的乘积能够为最大。

同时，为了帮助选手能够正确理解题意，主持人还举了如下的一个例子：

有一个数字串：312312， 当 N=3，K=1N=3，K=1 时会有以下两种分法：

1. 3×12=363×12=36

2. 31×2=6231×2=62

   这时，符合题目要求的结果是：31×2=6231×2=62

现在，请你帮助你的好朋友 XZ 设计一个程序，求得正确的答案。

输入描述

输入共有两行：

第一行共有 22 个自然数 N，K（6≤N≤40，1≤K≤6）N，K（6≤N≤40，1≤K≤6）。

第二行是一个长度为 NN 的数字串。

输出描述

输出所求得的最大乘积（一个自然数）。

解题思路

解题思路来自这位大佬，我现在用python实现一下。

对于本题，状态表示dp[i][j]可以设为前i个数字中采用j个乘号的所有集合的最大值。

然后将这个集合划分为小集合，不同点为是否改变乘号的位置，不改变乘号的位置就对应集合dp[i][j],改变乘号位置对应集合dp[t][j - 1],这里的t是插入乘号的前一个数字位置，那么乘号之后就对应一个新的数字即num[t + 1:i + 1]，这里加一是为了不与前面的数重叠。

因此，状态计算为dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[t][j - 1] * num[t + 1:i + 1])

初始化肯定是要把已知的信息都整理到dp数组中，目前已知的信息就是乘号个数为0时的最大值了，显然就是对应的每一位的数字。再看上面的递推公式可以知道，是从前往后推的，可以按照先物品后背包的顺序遍历。下面模拟一下过程。

可见，每次推导都是从前面一列以及前面i行进行推导的，因此除了两层for循环外，还需要对t进行从0到i - 1的遍历。代码如下：

import os
import sys
​
N, K = map(int, input().split())
​
num = input()
num_str = str(num)
​
dp = [[0] * (K + 1) for _ in range(len(num_str))]
for i in range(len(num_str)):
  dp[i][0] = int(num_str[0:i + 1])
​
for i in range(1, len(num_str)):
  for j in range(1, K + 1):
    for t in range(i):
      dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[t][j - 1] * int(num_str[t + 1:i + 1]))
​
print(dp[-1][-1])