把负数和分数放到指数上

“抽象方法的优越性：从熟悉到不熟悉的扩展与意义赋予”

抽象方法还有一点极大的优越性：它使我们能够将熟悉的概念扩展到不熟悉的情况下，赋予其新的意义。我所说的“赋予意义”的确是恰当的，因为我们所做的正是去赋予意义，而不是去发现某种早就存在的意义。这当中有一个简单的例子，那就是我们如何扩展指数的概念。

“抽象方法的应用：解释指数运算中的特殊情况”

如果n是个正整数，那么$a^n$即表示n个a相乘的结果。如$5^3=5\ast 5\ast 5=125$以及$2^5=2\ast 2\ast 2\ast 2\ast 2=32$。但若以此作为定义，我们就不容易去解释$2^{3/2}$这样的表达式，因为你不可能拿出一个半的2，把它们乘在一起。那处理这种问题的抽象方法是什么呢？我们又一次需要抛开寻找内在意义的意识。在本例中即需要忽视$a^n$的内在意义，转而考虑关于它的规则。
关于指数运算的两条基本规则是：
E1对任意实数a,$a^1=0$。
E2对任意实数a和任意一对自然数m、n,有$a^{m+n}=a^m+a^n$。
例如，$2^5=2^3\ast 2^2$，因为$2^5$表示2×2×2x2×2，而$2^3\ast 2^2$表示（2×2X2） × （2X2），由乘法结合律可知两数相同。

“抽象方法的应用：重新解释指数运算中的特殊情况”

从上述两条规则出发，我们可以迅速重新得到已经知道的些事实。比如，根据E2即知$a^2=a^{1+1}$等于$a^1\ast a^1$；再根据E1，此即为a*a，正如我们所了解的。除此以外，我们现在还能够做更多的事情。让我们用x来表示$2^{3/2}$。那么$x\ast x=2^{3/2}\ast 2^{3/2}$，由E2得知它就是$2^{3/2+3/2}=2^3=8$。也就是说$x^2=8$。这并没有完全确定下x，因为8有两个平方根。所以我们通常会采取如下的准则。
E3 如果a＞0且b是实数，那么$a^b$为正数。
再应用上E3，我们就发现$2^{3/2}$是8的正平方根。
这并不是对$2^{3/2}$的“真正值”的发现。但这也不是我们对表达式$2^{3/2}$的随意解读一一如果我们希望保持规则E1、E2和E3，这就是唯一的可能性。

“抽象方法的应用：解释指数和对数运算中的特殊情况”

用类似的办法，我们可以对$a^0$给出解释——至少当a不为0时。由E1和E2，我们知道$a=a^1=a^{1+0}=a^1\ast a^0=a\ast a^0$。消去律M5指出，无论a取何值，都有$a^0=1$。对于负指数，如果我们已经知道了$a^b$的值，那么$1=a^0=a^{b+(-b)}=a^b\ast a^{-b}$，由此推出$a^{-}b=1/a^b$。例如,$2^{-3/2}$就等于$1/\sqrt{8}$。
对数是另一个抽象地看会变得更加容易的概念。关于对数，我在本系列文章中要说的不多。但如果它确实困扰你，那么你可以消除顾虑，只要了解它们遵循如下三条规则就足以使你去应用对数了。（如果你希望对数是以e为底而不是以10为底的，只需要在L1 中把10替换为e即可。）
L1 log(10)=1。
L2 log(xy)=log(x)+log(y)。
L3 若x＜y，则log(x)＜log(y)。
例如，要得到log（30）小于3/2，可以应用L1和L2得出log ( 1000) = log (10) +log (100) = log (10) +log (10) +log ( 10) =3。而由L2得出2log(30)=log（30）+log （30）=log（900），又由L3得到log（900）＜log（1000）。因此2log（30）＜3，即得log（30）＜3/2。
在后面的文章里，我还将讨论许多类似性质的概念。试图具体地理解它们会让你感到困惑，但当你放轻松些，不再担心它们是什么并且应用抽象的方法时，这些概念的神秘性就消失了。

总结

抽象方法在数学中的应用是十分重要的，特别是在解释指数和对数运算中的特殊情况时。通过抽象方法，我们可以将熟悉的概念扩展到不熟悉的情况下，并赋予其新的意义。在指数运算中，通过基本规则E1和E2，我们可以推导出已知的结果，并且可以处理特殊情况如负指数和分数指数。同样地，在对数运算中，通过规则L1、L2和L3，我们可以解释对数的性质和比较大小。抽象方法的优越性在于它让我们放松对概念的具体理解，而是专注于应用抽象的规则和方法。当我们不再担心具体含义而放松地应用抽象方法时，这些概念的神秘性就会消失。抽象方法的应用不仅适用于数学中的问题，还可以扩展到其他领域，帮助我们解决复杂的情况并赋予新的意义。