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为什么G中阶大于2的元素，一定有偶数个

在有限群G中，阶大于2的元素个数一定是偶数的原因如下：

设 aaa 是群G中一个阶大于2的元素，那么根据群的定义和阶的概念（即某个元素的幂次使得其等于单位元的最小正整数），ak=ea^k = eak=e，其中 k>2k > 2k>2 且 eee 是单位元。对于这样的元素 aaa，其逆元为 a−1a^{-1}a−1。

由于 aaa 的阶大于2，这意味着 a≠a−1a \neq a^{-1}a=a−1（如果 a=a−1a = a^{-1}a=a−1，则 a2=ea^2 = ea2=e，与 aaa 的阶大于2矛盾）。而每个非单位元与其逆元构成一对不同的元素，并且这一对元素的阶是相同的（因为 (a−1)k=(ak)−1=e−1=e(a^{-1})^k = (a^k)^{-1} = e^{-1} = e(a−1)k=(ak)−1=e−1=e）。

因此，在群G中每找到一个阶大于2的元素 aaa，必然对应着另一个不同的元素 a−1a^{-1}a−1，它们两者的阶都大于2。由于这种配对关系是一一对应的，所以所有这些元素都会成对出现，故阶大于2的元素的个数必然是偶数。

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