Chapter9.1:线性系统状态空间基础(上)

该系列博客主要讲述Matlab软件在自动控制方面的应用,如无自动控制理论基础,请先学习自动控制系列博文,该系列博客不再详细讲解自动控制理论知识。
自动控制理论基础相关链接:https://blog.csdn.net/qq_39032096/category_10287468.html?spm=1001.2014.3001.5482
博客参考书籍:《MATLAB/Simulink与控制系统仿真》。



1.线性系统状态空间基础

1.1 状态空间基本概念
  • 状态和状态变量:系统在时间域中的行为或运动信息的集合称为状态;确定系统状态的一组独立变量称为状态变量;

    一个用 n n n阶微分方程描述的系统,当 n n n个初始条件 x ( t 0 ) , x ˙ ( t 0 ) , … , x ( n − 1 ) ( t 0 ) x(t_0),\dot{x}(t_0),\dots,x^{(n-1)}(t_0) x(t0),x˙(t0),,x(n1)(t0),及 t ≥ t 0 t≥t_0 tt0的输入 u ( t ) u(t) u(t)给定时,可唯一确定方程的解,即系统将来的状态,故 x ( t ) , x ˙ ( t ) , … , x ( n − 1 ) ( t ) x(t),\dot{x}(t),\dots,x^{(n-1)}(t) x(t),x˙(t),,x(n1)(t) n n n个独立变量可选作状态变量;

    n n n阶系统状态变量所含独立变量的个数为 n n n,当变量个数小于 n n n时,不能完全确定 n n n阶系统的状态,当变量个数大于 n n n时,对于确定系统的状态有的变量则是多余的;

    状态变量常用符号 x 1 ( t ) , x 2 ( t ) , … , x n ( t ) x_1(t),x_2(t),\dots,x_n(t) x1(t),x2(t),,xn(t)表示;

  • 状态向量:把描述系统状态的 n n n个状态变量 x 1 ( t ) , x 2 ( t ) , … , x n ( t ) x_1(t),x_2(t),\dots,x_n(t) x1(t),x2(t),,xn(t)看作向量 x ( t ) x(t) x(t)的分量,即:
    x ( t ) = [ x 1 ( t ) , x 2 ( t ) , … , x n ( t ) ] T x(t)=[x_1(t),x_2(t),\dots,x_n(t)]^T x(t)=[x1(t),x2(t),,xn(t)]T
    则向量 x ( t ) x(t) x(t)称为 n n n维状态向量;给定 t = t 0 t=t_0 t=t0时的初始状态向量 x ( t 0 ) x(t_0) x(t0) t ≥ t 0 t≥t_0 tt0的输入向量 u ( t ) u(t) u(t),则 t ≥ t 0 t≥t_0 tt0的状态由状态向量 x ( t ) x(t) x(t)唯一确定;

  • 状态空间: n n n个状态变量作为基底所组成的 n n n维空间称为状态空间;

  • 状态轨线:系统在任一时刻的状态,在状态空间中用一点来表示,随着时间推移,系统状态在变化,便在状态空间中描绘出一条轨迹,这种系统状态在状态空间中随时间变化的轨迹称为状态轨迹或状态轨线;

  • 线性系统的状态空间表达式:若线性系统描述系统状态量与输入量之间关系的状态方程是一阶向量线性微分方程或一阶向量线性差分方程,而描述输出量与状态量和输入量之间关系的输出方程是向量代数方程,则其组合称为线性系统状态空间表达式,亦称动态方程,其连续形式为:
    { x ˙ ( t ) = A ( t ) x ( t ) + B ( t ) u ( t ) y ( t ) = C ( t ) x ( t ) + D ( t ) u ( t ) \begin{cases} &\dot{x}(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)\\\\ &y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t) \end{cases} x˙(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t)
    对于线性离散时间系统,在实践中常取 t k = k T t_k=kT tk=kT( T T T为采样周期),其状态空间表达式的一般形式为:
    { x ( k + 1 ) = G ( k ) x ( k ) + H ( k ) u ( k ) y ( k ) = C ( k ) x ( k ) + D ( k ) u ( k ) \begin{cases} &x(k+1)=G(k)x(k)+H(k)u(k)\\\\ &y(k)=C(k)x(k)+D(k)u(k) \end{cases} x(k+1)=G(k)x(k)+H(k)u(k)y(k)=C(k)x(k)+D(k)u(k)
    若状态 x x x、输入 u u u、输出 y y y的维数分别为: n , p , q n,p,q n,p,q,则称 n × n n\times{n} n×n矩阵 A ( t ) A(t) A(t) G ( k ) G(k) G(k)为系统矩阵或状态矩阵;

    n × p n\times{p} n×p矩阵 B ( t ) B(t) B(t) H ( k ) H(k) H(k)为控制矩阵或输入矩阵;

    q × n q\times{n} q×n矩阵 C ( t ) C(t) C(t) C ( k ) C(k) C(k)为观测矩阵或输出矩阵;

    q × p q\times{p} q×p矩阵 D ( t ) D(t) D(t) D ( k ) D(k) D(k)为前馈矩阵或输入输出矩阵;

  • 线性定常系统:在线性系统的状态空间表达式中,若系数矩阵 A ( t ) , B ( t ) , C ( t ) , D ( t ) A(t),B(t),C(t),D(t) A(t),B(t),C(t),D(t) G ( k ) , H ( k ) , C ( k ) , D ( k ) G(k),H(k),C(k),D(k) G(k),H(k),C(k),D(k)的各元素都是常数,则称该系统为线性定常系统,否则为线性时变系统;

    线性定常系统状态空间表达式一般形式:
    { x ˙ ( t ) = A x ( t ) + B u ( t ) y ( t ) = C x ( t ) + D u ( t ) \begin{cases} &\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)\\\\ &y(t)=Cx(t)+Du(t) \end{cases} x˙(t)=Ax(t)+Bu(t)y(t)=Cx(t)+Du(t)

    { x ( k + 1 ) = G x ( k ) + H u ( k ) y ( k ) = C x ( k ) + D u ( k ) \begin{cases} &x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)\\\\ &y(k)=Cx(k)+Du(k) \end{cases} x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)y(k)=Cx(k)+Du(k)
    当输出方程中 D ≡ 0 D≡0 D0时,系统称为绝对固有系统,否则称为固有系统;

  • 线性系统的结构图:

    1

  • 状态空间描述特点:

    • 状态空间描述考虑了"输入-状态-输出"这一过程,考虑到了被经典控制理论的"输入-输出"描述所忽略的状态,因此,状态空间描述揭示了问题的本质,即输入引起状态的变化,状态决定了输出;
    • 输入引起的状态变化是一个运动过程,数学上表现为向量微分方程,即状态方程;状态决定输出是一个变换过程,数学上表现为变换方程,即代数方程;
    • 系统的状态变量个数等于系统的阶数,一个 n n n阶系统的状态变量个数为 n n n
    • 对于给定的系统,状态变量的选择不唯一,状态变量的线性变换结果也可作为状态变量;
    • 状态变量不一定是物理上可测量或可观测的量,但为了便于构造控制系统,把状态变量选择可测量或可观测的量更合适;
1.2 线性定常连续系统状态空间表达式的建立
1.2.1 根据系统机理建立状态空间表达式

实例分析:

Example1: 系统电路图如下图所示,选择状态变量建立状态空间表达式;

2

解:

根据电路定律列写方程:
R i + L d i d t + 1 C ∫ i d t = e Ri+L\frac{{\rm d}i}{{\rm d}t}+\frac{1}{C}\int{i}{\rm d}t=e Ri+Ldtdi+C1idt=e
电路输出量为:
y = e c = 1 C ∫ i d t y=e_c=\frac{1}{C}\int{i}{\rm d}t y=ec=C1idt
设状态变量 x 1 = i , x 2 = 1 C ∫ i d t x_1=i,x_2=\displaystyle\frac{1}{C}\int{i}{\rm d}t x1=i,x2=C1idt,则状态方程为:
{ x ˙ 1 = − R L x 1 − 1 L x 2 + 1 L e x ˙ 2 = 1 C x 1 \begin{cases} &\dot{x}_1=-\displaystyle\frac{R}{L}x_1-\frac{1}{L}x_2+\frac{1}{L}e\\\\ &\dot{x}_2=\displaystyle\frac{1}{C}x_1 \end{cases} x˙1=LRx1L1x2+L1ex˙2=C1x1
输出方程为:
y = x 2 y=x_2 y=x2
向量-矩阵形式为:
[ x ˙ 1 x ˙ 2 ] = [ − R L − 1 L 1 C 0 ] [ x 1 x 2 ] + [ 1 L 0 ] e y = [ 0 1 ] [ x 1 x 2 ] \begin{aligned} &\begin{bmatrix} \dot{x}_1\\ \dot{x}_2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -\displaystyle\frac{R}{L} & -\displaystyle\frac{1}{L}\\\\ \displaystyle\frac{1}{C} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {x}_1\\ {x}_2 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} \displaystyle\frac{1}{L}\\\\ 0 \end{bmatrix}e\\ &y= \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} {x}_1\\ {x}_2 \end{bmatrix} \end{aligned} [x˙1x˙2]= LRC1L10 [x1x2]+ L10 ey=[01][x1x2]
简记为:
{ x ˙ = A x + b e y = c x \begin{cases} &\dot{x}=Ax+be\\ &y=cx \end{cases} {x˙=Ax+bey=cx
式中:
x ˙ = [ x ˙ 1 x ˙ 2 ] , x = [ x 1 x 2 ] , A = [ − R L − 1 L 1 C 0 ] , b = [ 1 L 0 ] , c = [ 0 1 ] \dot{x}= \begin{bmatrix} \dot{x}_1\\ \dot{x}_2 \end{bmatrix}, {x}= \begin{bmatrix} {x}_1\\ {x}_2 \end{bmatrix}, A= \begin{bmatrix} -\displaystyle\frac{R}{L} & -\displaystyle\frac{1}{L}\\\\ \displaystyle\frac{1}{C} & 0 \end{bmatrix}, b= \begin{bmatrix} \displaystyle\frac{1}{L}\\\\ 0 \end{bmatrix}, c= \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix} x˙=[x˙1x˙2],x=[x1x2],A= LRC1L10 ,b= L10 ,c=[01]

1.2.2 由系统微分方程建立状态空间表达式
  1. 系统输入量中不含导数项。

    单输入-单输出线性定常连续系统微分方程的一般形式为:
    y ( n ) + a n − 1 y ( n − 1 ) + a n − 2 y ( n − 2 ) + ⋯ + a 1 y ˙ + a 0 y = β 0 u y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+a_{n-2}y^{(n-2)}+\dots+a_1\dot{y}+a_0y=\beta_0u y(n)+an1y(n1)+an2y(n2)++a1y˙+a0y=β0u
    其中: y , u y,u y,u分别为系统的输出、输入量; a 0 , a 1 , … , a n − 1 , β 0 a_0,a_1,\dots,a_{n-1},\beta_0 a0,a1,,an1,β0是由系统特性确定的常系数;

    选取 n n n个状态变量为: x 1 = y , x 2 = y ˙ , … , x n = y ( n − 1 ) x_1=y,x_2=\dot{y},\dots,x_n=y^{(n-1)} x1=y,x2=y˙,,xn=y(n1),可得:
    { x ˙ 1 = x 2 x ˙ 2 = x 3        ⋮ x ˙ n − 1 = x n x ˙ n = − a 0 x 1 − a 1 x 2 − ⋯ − a n − 1 x n + β 0 u y = x 1 \begin{cases} &\dot{x}_1=x_2\\ &\dot{x}_2=x_3\\ &\space\space\space\space\space\space\vdots\\ &\dot{x}_{n-1}=x_n\\ &\dot{x}_n=-a_0x_1-a_1x_2-\dots-a_{n-1}x_n+\beta_0u\\ &y=x_1 \end{cases} x˙1=x2x˙2=x3      x˙n1=xnx˙n=a0x1a1x2an1xn+β0uy=x1
    向量-矩阵形式为:
    { x ˙ = A x + b u y = c x \begin{cases} &\dot{x}=Ax+bu\\ &y=cx \end{cases} {x˙=Ax+buy=cx
    式中:
    x = [ x 1 x 2 ⋮ x n − 1 x n ] , A = [ 0 1 0 … 0 0 0 1 … 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 … 1 − a 0 − a 1 − a 2 … − a n − 1 ] , b = [ 0 0 ⋮ 0 β 0 ] x= \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_{n-1}\\ x_n \end{bmatrix},A= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & \dots & 0\\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1\\ -a_0 & -a_1 & -a_2 & \dots & -a_{n-1} \end{bmatrix},b= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \vdots\\ 0\\ \beta_0 \end{bmatrix} x= x1x2xn1xn A= 000a0100a1010a2001an1 b= 000β0

    c = [ 1 0 0 … 0 ] c= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \end{bmatrix} c=[1000]

    状态变量图如下图所示:

    3

  2. 系统输入量中含有导数项

    线性定常连续系统微分方程一般形式为:
    y ( n ) + a n − 1 y ( n − 1 ) + a n − 2 y ( n − 2 ) + ⋯ + a 1 y ˙ + a 0 y = b n u ( n ) + b n − 1 u n − 1 + ⋯ + b 1 u ˙ + b 0 u \begin{aligned} &y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+a_{n-2}y^{(n-2)}+\dots+a_1\dot{y}+a_0y\\\\ =&b_nu^{(n)}+b_{n-1}u^{n-1}+\dots+b_1\dot{u}+b_0u \end{aligned} =y(n)+an1y(n1)+an2y(n2)++a1y˙+a0ybnu(n)+bn1un1++b1u˙+b0u

    1. b n ≠ 0 b_n≠0 bn=0情况

      按如下规则选择状态变量,设:
      { x 1 = y − h 0 u x i = x ˙ i − 1 − h i − 1 u ; i = 2 , 3 , … , n \begin{cases} &x_1=y-h_0u\\ &x_i=\dot{x}_{i-1}-h_{i-1}u;i=2,3,\dots,n \end{cases} {x1=yh0uxi=x˙i1hi1u;i=2,3,,n
      展开式为:
      { x 1 = y − h 0 u x 2 = x ˙ 1 − h 1 u = y ˙ − h 0 u ˙ − h 1 u x 3 = x ˙ 2 − h 2 u = y ¨ − h 0 u ¨ − h 1 u ˙ − h 2 u   ⋮ x n − 1 = x ˙ n − 2 − h n − 2 u = y ( n − 2 ) − h 0 u ( n − 2 ) − h 1 u n − 3 − ⋯ − h n − 2 u x n = x ˙ n − 1 − h n − 1 u = y ( n − 1 ) − h 0 u n − 1 − h 1 u n − 2 − ⋯ − h n − 1 u \begin{cases} &x_1=y-h_0u\\ &x_2=\dot{x}_1-h_1u=\dot{y}-h_0\dot{u}-h_1u\\ &x_3=\dot{x}_2-h_2u=\ddot{y}-h_0\ddot{u}-h_1\dot{u}-h_2u\\ &\space\vdots\\ &x_{n-1}=\dot{x}_{n-2}-h_{n-2}u=y^{(n-2)}-h_0u^{(n-2)}-h_1u^{n-3}-\dots-h_{n-2}u\\ &x_n=\dot{x}_{n-1}-h_{n-1}u=y^{(n-1)}-h_0u^{n-1}-h_1u^{n-2}-\dots-h_{n-1}u \end{cases} x1=yh0ux2=x˙1h1u=y˙h0u˙h1ux3=x˙2h2u=y¨h0u¨h1u˙h2u xn1=x˙n2hn2u=y(n2)h0u(n2)h1un3hn2uxn=x˙n1hn1u=y(n1)h0un1h1un2hn1u
      式中, h 0 , h 1 , h 2 , … , h n − 1 h_0,h_1,h_2,\dots,h_{n-1} h0,h1,h2,,hn1 n n n个待定常数;

      输出方程为:
      y = x 1 + h 0 u y=x_1+h_0u y=x1+h0u
      其余可得 n − 1 n-1 n1个状态方程:
      { x ˙ 1 = x 2 + h 1 u x ˙ 2 = x 3 + h 2 u ⋮ x ˙ n − 1 = x n + h n − 1 u \begin{cases} &\dot{x}_1=x_2+h_1u\\ &\dot{x}_2=x_3+h_2u\\ &\vdots\\ &\dot{x}_{n-1}=x_{n}+h_{n-1}u \end{cases} x˙1=x2+h1ux˙2=x3+h2ux˙n1=xn+hn1u
      x n x_n xn求导数可得:
      x ˙ n = y ( n ) − h 0 u ( n ) − h 1 u ( n − 1 ) − ⋯ − h n − 1 u ˙ = ( − a n − 1 y ( n − 1 ) − a n − 2 y ( n − 2 ) − ⋯ − a 1 y ˙ − a 0 y +       b 0 u ( n ) + ⋯ + b 1 u ˙ + b 0 u ) − h 0 u ( n ) − h 1 u ( n − 1 ) − ⋯ − h n − 1 u ˙ \begin{aligned} \dot{x}_n&=y^{(n)}-h_0u^{(n)}-h_1u^{(n-1)}-\dots-h_{n-1}\dot{u}\\ &=(-a_{n-1}y^{(n-1)}-a_{n-2}y^{(n-2)}-\dots-a_1\dot{y}-a_0y+\\&\space\space\space\space\space{b}_0u^{(n)}+\dots+b_1\dot{u}+b_0u)-h_0u^{(n)}-h_1u^{(n-1)}-\dots-h_{n-1}\dot{u} \end{aligned} x˙n=y(n)h0u(n)h1u(n1)hn1u˙=(an1y(n1)an2y(n2)a1y˙a0y+     b0u(n)++b1u˙+b0u)h0u(n)h1u(n1)hn1u˙
      综合整理得:
      x ˙ n = − a 0 x 1 − a 1 x 2 − ⋯ − a n − 2 x n − 1 − a n − 1 x n + h n u \dot{x}_n=-a_0x_1-a_1x_2-\dots-a_{n-2}x_{n-1}-a_{n-1}x_{n}+h_nu x˙n=a0x1a1x2an2xn1an1xn+hnu
      向量-矩阵形式为:
      x ˙ = A x + b u , y = c x + d u \dot{x}=Ax+bu,y=cx+du x˙=Ax+bu,y=cx+du
      式中:
      A = [ 0 1 0 … 0 0 0 1 … 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 … 0 − a 0 − a 1 − a 2 … − a n − 1 ] , b = [ h 1 h 2 ⋮ h n − 1 h n ] A= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & \dots & 0\\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0\\ -a_0 & -a_1 & -a_2 & \dots & -a_{n-1} \end{bmatrix},b= \begin{bmatrix} h_1\\ h_2\\ \vdots\\ h_{n-1}\\ h_n \end{bmatrix} A= 000a0100a1010a2000an1 ,b= h1h2hn1hn

      c = [ 1 0 0 … 0 ] , d = h 0 c= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \end{bmatrix}, d=h_0 c=[1000],d=h0

      状态变量图如下图所示:

      4

    2. b n = 0 b_n=0 bn=0情况

      按如下规则选择一组状态变量,设:
      { x n = y x i = x ˙ i + 1 + a i y − b i u ; i = 1 , 2 , … , n − 1 \begin{cases} &x_n=y\\ &x_i=\dot{x}_{i+1}+a_iy-b_iu;i=1,2,\dots,n-1 \end{cases} {xn=yxi=x˙i+1+aiybiu;i=1,2,,n1
      展开式为:
      { x n − 1 = x ˙ n + a n − 1 y − b n − 1 u = y ˙ + a n − 1 y − b n − 1 u x n − 2 = x ˙ n − 1 + a n − 2 y − b n − 2 u = y ¨ + a n − 1 y ˙ − b n − 1 u ˙ + a n − 2 y − b n − 2 u ⋮ x 2 = x ˙ 3 + a 2 y − b 2 u       = y ( n − 2 ) + a n − 1 y ( n − 3 ) − b n − 1 u ( n − 3 ) + a n − 2 y ( n − 4 ) − b n − 2 u ( n − 4 ) + ⋯ + a 2 y − b 2 u x 1 = x ˙ 2 + a 1 y − b 1 u       = y ( n − 1 ) + a n − 1 y ( n − 2 ) − b n − 1 u ( n − 2 ) + a n − 2 y ( n − 3 ) − b n − 2 u ( n − 3 ) + ⋯ + a 1 y − b 1 u \begin{cases} &x_{n-1}=\dot{x}_n+a_{n-1}y-b_{n-1}u=\dot{y}+a_{n-1}y-b_{n-1}u\\ &x_{n-2}=\dot{x}_{n-1}+a_{n-2}y-b_{n-2}u=\ddot{y}+a_{n-1}\dot{y}-b_{n-1}\dot{u}+a_{n-2}y-b_{n-2}u\\ &\vdots\\ &x_2=\dot{x}_3+a_2y-b_2u\\ &\space\space\space\space\space=y^{(n-2)}+a_{n-1}y^{(n-3)}-b_{n-1}u^{(n-3)}+a_{n-2}y^{(n-4)}-b_{n-2}u^{(n-4)}+\dots+a_2y-b_2u\\ &x_1=\dot{x}_2+a_1y-b_1u\\ &\space\space\space\space\space=y^{(n-1)}+a_{n-1}y^{(n-2)}-b_{n-1}u^{(n-2)}+a_{n-2}y^{(n-3)}-b_{n-2}u^{(n-3)}+\dots+a_1y-b_1u \end{cases} xn1=x˙n+an1ybn1u=y˙+an1ybn1uxn2=x˙n1+an2ybn2u=y¨+an1y˙bn1u˙+an2ybn2ux2=x˙3+a2yb2u     =y(n2)+an1y(n3)bn1u(n3)+an2y(n4)bn2u(n4)++a2yb2ux1=x˙2+a1yb1u     =y(n1)+an1y(n2)bn1u(n2)+an2y(n3)bn2u(n3)++a1yb1u
      b n = 0 b_n=0 bn=0时动态方程为:
      x ˙ = A x + b u , y = c x \dot{x}=Ax+bu,y=cx x˙=Ax+bu,y=cx
      其中:
      A = [ 0 0 … 0 − a 0 1 0 … 0 − a 1 0 1 … 0 − a 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 … 1 − a n − 1 ] , b = [ b 0 b 1 b 2 ⋮ b n − 1 ] , c = [ 0 0 … 1 ] A= \begin{bmatrix} 0 & 0 & \dots & 0 & -a_0\\ 1 & 0 & \dots & 0 & -a_1\\ 0 & 1 & \dots & 0 & -a_2\\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & \dots & 1 & -a_{n-1} \end{bmatrix},b= \begin{bmatrix} b_0\\ b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_{n-1} \end{bmatrix},c=\begin{bmatrix}0 & 0 & \dots & 1\end{bmatrix} A= 010000100001a0a1a2an1 ,b= b0b1b2bn1 ,c=[001]
      实例分析:

      Example2: 设二阶系统微分方程为:
      y ¨ + 2 ζ ω y ˙ + ω 2 y = T u ˙ + u \ddot{y}+2\zeta\omega\dot{y}+\omega^2y=T\dot{u}+u y¨+2ζωy˙+ω2y=Tu˙+u
      求系统状态空间表达式。

      解:

      设状态变量:

      x 1 = y − h 0 u , x 2 = x ˙ 1 − h 1 u = y ˙ − h 0 u ˙ − h 1 u x_1=y-h_0u,x_2=\dot{x}_1-h_1u=\dot{y}-h_0\dot{u}-h_1u x1=yh0u,x2=x˙1h1u=y˙h0u˙h1u

      x 2 x_2 x2求导且考虑 x 1 , x 2 x_1,x_2 x1,x2及系统微分方程,可得:

      x ˙ 2 = y ¨ − h 0 u ¨ − h 1 u ˙ = ( − ω 2 y − 2 ζ ω y ˙ + T u ˙ + u ) − h 0 u ¨ − h 1 u ˙ = − ω 2 x 1 − 2 ζ ω x 2 − h 0 u ¨ + ( T − 2 ζ ω h 0 − h 1 ) u ˙ + ( 1 − ω 2 h 0 − 2 ζ ω h 1 ) u \begin{aligned} \dot{x}_2&=\ddot{y}-h_0\ddot{u}-h_1\dot{u}=(-\omega^2y-2\zeta\omega\dot{y}+T\dot{u}+u)-h_0\ddot{u}-h_1\dot{u}\\ &=-\omega^2x_1-2\zeta\omega{x_2}-h_0\ddot{u}+(T-2\zeta\omega{h_0}-h_1)\dot{u}+(1-\omega^2h_0-2\zeta\omega{h_1})u \end{aligned} x˙2=y¨h0u¨h1u˙=(ω2y2ζωy˙+Tu˙+u)h0u¨h1u˙=ω2x12ζωx2h0u¨+(T2ζωh0h1)u˙+(1ω2h02ζωh1)u

      u ¨ , u ˙ \ddot{u},\dot{u} u¨u˙项的系数为零,可得:

      h 0 = 0 , h 1 = T h_0=0,h_1=T h0=0,h1=T

      因此,

      x ˙ 2 = − ω 2 x 1 − 2 ζ ω x 2 + ( 1 − 2 ζ ω T ) u \dot{x}_2=-\omega^2x_1-2\zeta\omega{x_2}+(1-2\zeta\omega{T})u x˙2=ω2x12ζωx2+(12ζωT)u

      系统状态空间表达式为:

      [ x ˙ 1 x ˙ 2 ] = [ 0 1 − ω 2 − 2 ζ ω ] [ x 1 x 2 ] + [ T 1 − 2 ζ ω T ] u , y = [ 1 0 ] [ x 1 x 2 ] \begin{bmatrix} \dot{x}_1\\ \dot{x}_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1\\ -\omega^2 & -2\zeta\omega \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} T\\ 1-2\zeta\omega{T} \end{bmatrix}u,y=\begin{bmatrix}1 & 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \end{bmatrix} [x˙1x˙2]=[0ω212ζω][x1x2]+[T12ζωT]u,y=[10][x1x2]

1.2.3 由系统传递函数建立状态空间表达式

系统传递函数为:
G ( s ) = Y ( s ) U ( s ) = b n s n + b n − 1 s n − 1 + b n − 2 s n − 2 + ⋯ + b 1 s + b 0 s n + a n − 1 s n − 1 + a n − 2 s n − 2 + ⋯ + a 1 s + a 0 G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{b_ns^n+b_{n-1}s^{n-1}+b_{n-2}s^{n-2}+\dots+b_1s+b_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+a_{n-2}s^{n-2}+\dots+a_1s+a_0} G(s)=U(s)Y(s)=sn+an1sn1+an2sn2++a1s+a0bnsn+bn1sn1+bn2sn2++b1s+b0
应用综合除法:
G ( s ) = b n + β n − 1 s n − 1 + β n − 2 s n − 2 + ⋯ + β 1 s + β 0 s n + a n − 1 s n − 1 + a n − 2 s n − 2 + ⋯ + a 1 s + a 0 ≜ b n + N ( s ) D ( s ) G(s)=b_n+\frac{\beta_{n-1}s^{n-1}+\beta_{n-2}s^{n-2}+\dots+\beta_1s+\beta_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+a_{n-2}s^{n-2}+\dots+a_1s+a_0}\triangleq{b_n}+\frac{N(s)}{D(s)} G(s)=bn+sn+an1sn1+an2sn2++a1s+a0βn1sn1+βn2sn2++β1s+β0bn+D(s)N(s)
其中: b n b_n bn是直接联系输入与输出量的前馈系数,当 G ( s ) G(s) G(s)分母次数大于分子次数时, b n = 0 b_n=0 bn=0 N ( s ) D ( s ) \displaystyle\frac{N(s)}{D(s)} D(s)N(s)是严格有理真分式,其系数由综合除法得到:
{ β 0 = b 0 − a 0 b n β 1 = b 1 − a 1 b n ⋮ β n − 2 = b n − 2 − a n − 2 b n β n − 1 = b n − 1 − a n − 1 b n \begin{cases} &\beta_0=b_0-a_0b_n\\ &\beta_1=b_1-a_1b_n\\ &\vdots\\ &\beta_{n-2}=b_{n-2}-a_{n-2}b_n\\ &\beta_{n-1}=b_{n-1}-a_{n-1}b_n \end{cases} β0=b0a0bnβ1=b1a1bnβn2=bn2an2bnβn1=bn1an1bn
N ( s ) D ( s ) \displaystyle\frac{N(s)}{D(s)} D(s)N(s)导出几种标准形式动态方程的方法:

  1. N ( s ) D ( s ) \displaystyle\frac{N(s)}{D(s)} D(s)N(s)串联分解情况。

    5

    其中: z z z为中间变量, z , y z,y z,y满足:
    { z ( n ) + a n − 1 z ( n − 1 ) + ⋯ + a 1 z ˙ + a 0 z = u y = β n − 1 z ( n − 1 ) + ⋯ + β 1 z ˙ + β 0 z \begin{cases} &z^{(n)}+a_{n-1}z^{(n-1)}+\dots+a_1\dot{z}+a_0z=u\\\\ &y=\beta_{n-1}z^{(n-1)}+\dots+\beta_1\dot{z}+\beta_0z \end{cases} z(n)+an1z(n1)++a1z˙+a0z=uy=βn1z(n1)++β1z˙+β0z
    选取状态变量:
    x 1 = z , x 2 = z ˙ , x 3 = z ¨ , … , x n = z ( n − 1 ) x_1=z,x_2=\dot{z},x_3=\ddot{z},\dots,x_n=z^{(n-1)} x1=z,x2=z˙,x3=z¨,,xn=z(n1)
    则状态方程为:
    { x ˙ 1 = x 2 x ˙ 2 = x 3 ⋮ x ˙ n = − a 0 z − a 1 z ˙ − ⋯ − a n − 1 z ( n − 1 ) + u      = − a 0 x 1 − a 1 x 2 − ⋯ − a n − 1 x n + u \begin{cases} &\dot{x}_1=x_2\\ &\dot{x}_2=x_3\\ &\vdots\\ &\dot{x}_n=-a_0z-a_1\dot{z}-\dots-a_{n-1}z^{(n-1)}+u\\ &\space\space\space\space=-a_0x_1-a_1x_2-\dots-a_{n-1}x_n+u\\ \end{cases} x˙1=x2x˙2=x3x˙n=a0za1z˙an1z(n1)+u    =a0x1a1x2an1xn+u
    输出方程为:
    y = − β 0 x 1 − β 1 x 2 − ⋯ − β n − 1 x n y=-\beta_0x_1-\beta_1x_2-\dots-\beta_{n-1}x_n y=β0x1β1x2βn1xn
    向量-矩阵形式为:
    x ˙ = A x + b u , y = c x \dot{x}=Ax+bu,y=cx x˙=Ax+bu,y=cx

    A = [ 0 1 0 … 0 0 0 1 … 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 … 1 − a 0 − a 1 − a 2 … − a n − 1 ] , b = [ 0 0 ⋮ 0 1 ] , c = [ β 0 β 1 … β n − 1 ] A= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & \dots & 0\\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1\\ -a_0 & -a_1 & -a_2 & \dots & -a_{n-1} \end{bmatrix}, b= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \vdots\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}, c= \begin{bmatrix} \beta_0 & \beta_1 & \dots & \beta_{n-1} \end{bmatrix} A= 000a0100a1010a2001an1 ,b= 0001 ,c=[β0β1βn1]

    形式如上 A A A阵称为友矩阵,若状态方程中的 A , b A,b A,b具有这种形式,称为可控标准型;

    G ( s ) = b n + N ( s ) D ( s ) G(s)=b_n+\displaystyle\frac{N(s)}{D(s)} G(s)=bn+D(s)N(s)时, A , b A,b A,b不变, y = c x + b n u y=cx+b_nu y=cx+bnu

    N ( s ) D ( s ) \displaystyle\frac{N(s)}{D(s)} D(s)N(s)串联分解时系统的可控标准型状态变量图如下图所示:

    6

    b n = 0 b_n=0 bn=0时,选取状态变量:
    { x n = y x i = x ˙ i + 1 + a i y − b i u ; i = 1 , 2 , … , n − 1 \begin{cases} &x_n=y\\ &x_i=\dot{x}_{i+1}+a_iy-b_iu;i=1,2,\dots,n-1 \end{cases} {xn=yxi=x˙i+1+aiybiu;i=1,2,,n1
    则系统的 A , b , c A,b,c A,b,c矩阵为:
    A = [ 0 0 … 0 − a 0 1 0 … 0 − a 1 0 1 … 0 − a 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 … 1 − a n − 1 ] , b = [ β 0 β 1 β 2 ⋮ β n − 1 ] , c = [ 0 0 0 … 1 ] A= \begin{bmatrix} 0 & 0 & \dots & 0 & -a_0\\ 1 & 0 & \dots & 0 & -a_1\\ 0 & 1 & \dots & 0 & -a_2\\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & \dots & 1 & -a_{n-1} \end{bmatrix}, b= \begin{bmatrix} \beta_0\\ \beta_1\\ \beta_2\\ \vdots\\ \beta_{n-1} \end{bmatrix}, c= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & \dots & 1 \end{bmatrix} A= 010000100001a0a1a2an1 ,b= β0β1β2βn1 ,c=[0001]
    若动态方程中的 A , c A,c A,c具有这种形式称为可观测标准型;

    可控标准型与可观测标准型的各矩阵间的关系:
    A c = A o T , b c = c o T , c c = b o T A_c=A_o^T,b_c=c_o^T,c_c=b_o^T Ac=AoT,bc=coT,cc=boT
    其中:下标 c c c表示可控标准型; o o o表示可观测标准型; T T T为转置符号;

    实例分析:

    Example3: 设二阶系统微分方程为:
    y ¨ + 2 ζ ω y ˙ + ω 2 y = T u ˙ + u \ddot{y}+2\zeta\omega\dot{y}+\omega^2y=T\dot{u}+u y¨+2ζωy˙+ω2y=Tu˙+u
    列写系统的可控标准型、可观测标准型动态方程,确定状态变量与输入、输出量的关系;

    解:

    系统的传递函数为:
    G ( s ) = Y ( s ) U ( s ) = T s + 1 s 2 + 2 ζ ω s + ω 2 G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{Ts+1}{s^2+2\zeta\omega{s}+\omega^2} G(s)=U(s)Y(s)=s2+2ζωs+ω2Ts+1
    可控标准型动态方程的各矩阵为:
    x c = [ x c 1 x c 2 ] , A c = [ 0 1 − ω 2 − 2 ζ ω ] , b c = [ 0 1 ] , c c = [ 1 T ] x_c= \begin{bmatrix} x_{c1}\\ x_{c_2} \end{bmatrix}, A_c= \begin{bmatrix} 0 & 1\\ -\omega^2 & -2\zeta\omega \end{bmatrix}, b_c= \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix},c_c= \begin{bmatrix} 1 & T \end{bmatrix} xc=[xc1xc2],Ac=[0ω212ζω],bc=[01],cc=[1T]
    G ( s ) G(s) G(s)串联分解并引入中间变量 z z z有:
    z ¨ + 2 ζ ω z ˙ + ω 2 z = u , y = T z ˙ + z \ddot{z}+2\zeta\omega\dot{z}+\omega^2{z}=u,y=T\dot{z}+z z¨+2ζωz˙+ω2z=uy=Tz˙+z
    y y y求导数并考虑上述关系式,可得:
    y ˙ = T z ¨ + z ˙ = ( 1 − 2 ζ ω T ) z ˙ − ω 2 T z + T u \dot{y}=T\ddot{z}+\dot{z}=(1-2\zeta\omega{T})\dot{z}-\omega^2Tz+Tu y˙=Tz¨+z˙=(12ζωT)z˙ω2Tz+Tu
    x c 1 = z , x c 2 = z ˙ x_{c1}=z,x_{c2}=\dot{z} xc1=z,xc2=z˙,可导出状态变量与输入、输出关系:
    { x c 1 = [ − T y ˙ + ( 1 − 2 ζ ω T ) y + T 2 u ] / ( 1 − 2 ζ ω T + ω 2 T 2 ) x c 2 = ( y ˙ + ω 2 T y − T u ) / ( 1 − 2 ζ ω T + ω 2 T 2 ) \begin{cases} &x_{c1}=[-T\dot{y}+(1-2\zeta\omega{T})y+T^2u]/(1-2\zeta\omega{T}+\omega^2T^2)\\\\ &x_{c2}=(\dot{y}+\omega^2Ty-Tu)/(1-2\zeta\omega{T}+\omega^2T^2) \end{cases} xc1=[Ty˙+(12ζωT)y+T2u]/(12ζωT+ω2T2)xc2=(y˙+ω2TyTu)/(12ζωT+ω2T2)
    可观测标准型动态方程各矩阵为:
    x o = [ x o 1 x o 2 ] , A o = [ 0 − ω 2 1 − 2 ζ ω ] , b o = [ 1 T ] , c o = [ 0 1 ] x_o= \begin{bmatrix} x_{o1}\\ x_{o2} \end{bmatrix}, A_o= \begin{bmatrix} 0 & -\omega^2\\ 1 & -2\zeta\omega \end{bmatrix}, b_o= \begin{bmatrix} 1\\ T \end{bmatrix}, c_o= \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix} xo=[xo1xo2],Ao=[01ω22ζω],bo=[1T],co=[01]
    状态变量与输入、输出量的关系:
    { x o 1 = y ˙ + 2 ζ ω y − T u x o 2 = y \begin{cases} &x_{o1}=\dot{y}+2\zeta\omega{y}-Tu\\ &x_{o2}=y \end{cases} {xo1=y˙+2ζωyTuxo2=y
    系统可控标准型与可观测标准型状态变量图:

    7

  2. N ( s ) D ( s ) \displaystyle\frac{N(s)}{D(s)} D(s)N(s)只含有单实极点情况。

    N ( s ) D ( s ) \displaystyle\frac{N(s)}{D(s)} D(s)N(s)只含单实极点时,可以化为可控标准型或可观测标准型动态方程外,还可化为对角型动态方程,其 A A A阵是一个对角阵;

    D ( s ) D(s) D(s)可分解为:
    D ( s ) = ( s − λ 1 ) ( s − λ 2 ) … ( s − λ n ) D(s)=(s-\lambda_1)(s-\lambda_2)\dots(s-\lambda_n) D(s)=(sλ1)(sλ2)(sλn)
    其中: λ 1 , λ 2 , … , λ n \lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n λ1,λ2,,λn为系统的单实极点,则传递函数展成部分分式之和:
    Y ( s ) U ( s ) = N ( s ) D ( s ) = ∑ i = 1 n c i s − λ i \frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{N(s)}{D(s)}=\sum_{i=1}^{n}\frac{c_i}{s-\lambda_i} U(s)Y(s)=D(s)N(s)=i=1nsλici
    其中: c i = [ N ( s ) D ( s ) ( s − λ i ) ] ∣ s = λ i c_i=\left.\left[\displaystyle\frac{N(s)}{D(s)}(s-\lambda_i)\right]\right|_{s=\lambda_i} ci=[D(s)N(s)(sλi)] s=λi N ( s ) D ( s ) \displaystyle\frac{N(s)}{D(s)} D(s)N(s)在极点 λ i \lambda_i λi处的留数,且有:
    Y ( s ) = ∑ i = 1 n c i s − λ i U ( s ) Y(s)=\sum_{i=1}^n\frac{c_i}{s-\lambda_i}U(s) Y(s)=i=1nsλiciU(s)
    令状态变量为:
    X i ( s ) = 1 s − λ i U ( s ) ; i = 1 , 2 , … , n X_i(s)=\frac{1}{s-\lambda_i}U(s);i=1,2,\dots,n Xi(s)=sλi1U(s);i=1,2,,n
    反变换结果:
    x ˙ i ( t ) = λ i x i ( t ) + u ( t ) , y ( t ) = ∑ i = 1 n c i x i ( t ) \dot{x}_i(t)=\lambda_ix_i(t)+u(t),y(t)=\sum_{i=1}^nc_ix_i(t) x˙i(t)=λixi(t)+u(t),y(t)=i=1ncixi(t)
    向量-矩阵形式为:
    [ x ˙ 1 x ˙ 2 ⋮ x ˙ n ] = [ λ 1 λ 2 … λ n ] [ x 1 x 2 ⋮ x n ] + [ 1 1 ⋮ 1 ] u , y = [ c 1 c 2 … c n ] [ x 1 x 2 ⋮ x n ] \begin{bmatrix} \dot{x}_1\\ \dot{x}_2\\ \vdots\\ \dot{x}_n \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \lambda_1& & &\\ &\lambda_2 & &\\ & & \dots &\\ & & &\lambda_n \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1\\1\\\vdots\\1\end{bmatrix}u, y= \begin{bmatrix} c_1 & c_2 & \dots & c_n \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{bmatrix} x˙1x˙2x˙n = λ1λ2λn x1x2xn + 111 u,y=[c1c2cn] x1x2xn
    状态变量图如下图所示:

    8

    若令状态变量:
    X i ( s ) = c i s − λ i U ( s ) ; i = 1 , 2 , … , n X_i(s)=\frac{c_i}{s-\lambda_i}U(s);i=1,2,\dots,n Xi(s)=sλiciU(s);i=1,2,,n
    则:
    Y ( s ) = ∑ i = 1 n X i ( s ) Y(s)=\sum_{i=1}^nX_i(s) Y(s)=i=1nXi(s)
    向量-矩阵形式为:
    [ x ˙ 1 x ˙ 2 ⋮ x ˙ n ] = [ λ 1 λ 2 … λ n ] [ x 1 x 2 ⋮ x n ] + [ c 1 c 2 ⋮ c n ] u , y = [ 1 1 … 1 ] [ x 1 x 2 ⋮ x n ] \begin{bmatrix} \dot{x}_1\\ \dot{x}_2\\ \vdots\\ \dot{x}_n \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \lambda_1& & &\\ &\lambda_2 & &\\ & & \dots &\\ & & &\lambda_n \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}c_1\\c_2\\\vdots\\c_n\end{bmatrix}u, y= \begin{bmatrix} 1 & 1 & \dots & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{bmatrix} x˙1x˙2x˙n = λ1λ2λn x1x2xn + c1c2cn u,y=[111] x1x2xn
    状态变量图如下图所示:

    9

  3. N ( s ) D ( s ) \displaystyle\frac{N(s)}{D(s)} D(s)N(s)含重实极点时的情况

    当传递函数除含单实极点外,还含有重实极点时,不仅可化为可控、可观测标准型,还可化为约当标准型动态方程,其 A A A阵是一个含有约当块的矩阵。

    D ( s ) D(s) D(s)可分解为:
    D ( s ) = ( s − λ 1 ) 3 ( s − λ 4 ) … ( s − λ n ) D(s)=(s-\lambda_1)^3(s-\lambda_4)\dots(s-\lambda_n) D(s)=(sλ1)3(sλ4)(sλn)
    式中, λ 1 \lambda_1 λ1为三重实极点; λ 4 , … , λ n \lambda_4,\dots,\lambda_n λ4,,λn为单实极点,则传递函数可展成下列部分分式之和;
    Y ( s ) U ( s ) = N ( s ) D ( s ) = c 11 ( s − λ 1 ) 3 + c 12 ( s − λ 1 ) 2 + c 13 ( s − λ 1 ) + ∑ i = 4 n c i s − λ i \frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{N(s)}{D(s)}=\frac{c_{11}}{(s-\lambda_1)^3}+\frac{c_{12}}{(s-\lambda_1)^2}+\frac{c_{13}}{(s-\lambda_1)}+\sum_{i=4}^{n}\frac{c_i}{s-\lambda_i} U(s)Y(s)=D(s)N(s)=(sλ1)3c11+(sλ1)2c12+(sλ1)c13+i=4nsλici
    状态变量分别选取:
    X i ( s ) = 1 s − λ i U ( s ) 和 X i ( s ) = c i s − λ i U ( s ) X_i(s)=\frac{1}{s-\lambda_i}U(s)和X_i(s)=\frac{c_i}{s-\lambda_i}U(s) Xi(s)=sλi1U(s)Xi(s)=sλiciU(s)
    可得向量-矩阵形式动态方程为:
    [ x ˙ 11 x ˙ 12 x ˙ 13 x ˙ 4 ⋮ x ˙ n ] = [ λ 1 1 λ 1 1 λ 1 λ 4 ⋱ λ n ] [ x 11 x 12 x 13 x 4 ⋮ x n ] + [ 0 0 1 1 ⋮ 1 ] u \begin{bmatrix} \dot{x}_{11}\\ \dot{x}_{12}\\ \dot{x}_{13}\\ \dot{x}_{4}\\ \vdots\\ \dot{x}_n \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \lambda_1 & 1 & & & \\ &\lambda_1 & 1\\ &&\lambda_1\\ &&&\lambda_4\\ &&&&\ddots\\ &&&&&\lambda_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{11}\\ x_{12}\\ x_{13}\\ x_4\\ \vdots\\ x_n \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ 1\\ \vdots\\ 1 \end{bmatrix}u x˙11x˙12x˙13x˙4x˙n = λ11λ11λ1λ4λn x11x12x13x4xn + 00111 u

    y = [ c 11 c 12 c 13 c 4 … c n ] y=\begin{bmatrix}c_{11} & c_{12} & c_{13} & c_4 & \dots & c_n\end{bmatrix} y=[c11c12c13c4cn]

    可控约当型动态方程状态变量图如下图所示:

    10

    可观测约当型动态方程:
    [ x ˙ 11 x ˙ 12 x ˙ 13 x ˙ 4 ⋮ x ˙ n ] = [ λ 1 1 λ 1 1 λ 1 λ 4 ⋱ λ n ] [ x 11 x 12 x 13 x 4 ⋮ x n ] + [ c 11 c 12 c 13 c 4 ⋮ c n ] u \begin{bmatrix} \dot{x}_{11}\\ \dot{x}_{12}\\ \dot{x}_{13}\\ \dot{x}_{4}\\ \vdots\\ \dot{x}_n \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \lambda_1 & & & & \\ 1&\lambda_1 &\\ &1&\lambda_1\\ &&&\lambda_4\\ &&&&\ddots\\ &&&&&\lambda_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{11}\\ x_{12}\\ x_{13}\\ x_4\\ \vdots\\ x_n \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} c_{11}\\ c_{12}\\ c_{13}\\ c_4\\ \vdots\\ c_n \end{bmatrix}u x˙11x˙12x˙13x˙4x˙n = λ11λ11λ1λ4λn x11x12x13x4xn + c11c12c13c4cn u

    y = [ 0 0 1 1 … 1 ] x y=\begin{bmatrix}0 & 0 & 1 & 1 & \dots & 1\end{bmatrix}x y=[00111]x

    可观约当型动态方程状态变量图如下图所示:

    11

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文章目录vector的介绍vector的使用及其实现vector的定义vector iterator 的使用vector空间增长问题vector的增删查改vector的介绍 vector是表示可变大小数组的序列容器。就像数组一样,vector也采用的连续存储空间来存储元素。也就是意味着可以采用下标对vector的元素…

开源 Swallow 代码审计系统体验

最近在哔哩哔哩看 到Swallow 代码审计系统的宣传,发现功能比较适合我目前的工作需要,安装使用了一下,简单做了一个笔记,分享给有需要的朋友. 底层架构为蜻蜓编排系统,墨菲SCA,fortify,SemGrep,hema 项目地址:https://github.com/StarCrossPortal/swallow 安装与使用视频教程:ht…

hexo 搭建个人博客记录

看B站的程序羊的关于搭建hexo博客的方法自己搭了一个博客,链接是 手把手教你从0开始搭建自己的个人博客 |无坑版视频教程| hexo 下面就视频所讲做做笔记,以后可以回来查看,推荐小伙伴想搭建hexo博客的可以去看看这个视频。 1. 安装Node.js…

react项目路由组件懒加载和路由传值方式

项目实战 使用useRoutes配置路由&#xff0c;结合插槽配置用户登录检测。 用户登录成功进入login 直接系统主界面 路由模块抽离 整体代码外移 { path: "/admin", element: ( <Author name"admin"> <Index /> </Author> ), }, { path:…

「SAP ABAP」OPEN SQL(七)【GROUP BY | HAVING | ORDER BY】

&#x1f482;作者简介&#xff1a; THUNDER王&#xff0c;一名热爱财税和SAP ABAP编程以及热爱分享的博主。目前于江西师范大学本科在读&#xff0c;同时任汉硕云&#xff08;广东&#xff09;科技有限公司ABAP开发顾问。在学习工作中&#xff0c;我通常使用偏后端的开发语言A…

基于matlab已知地球两点坐标求取距离和方位角函数distance

一、语法1.语法1[arclen,az] distance(lat1,lon1,lat2,lon2)&#xff1b;R6371.393; % 地球半径&#xff0c;单位&#xff1a;km地点1&#xff08;维度lat1&#xff0c;经度lon1&#xff09;&#xff0c;地点2&#xff08;维度lat2&#xff0c;经度lon2&#xff09;假设地点1和…

001 鸿蒙系统环境搭建及运行hello world

1 下载与安装DevEco Studio 在HarmonyOS应用开发学习之前&#xff0c;需要进行一些准备工作&#xff0c;首先需要完成开发工具DevEco Studio的下载与安装以及环境配置。 进入DevEco Studio下载官网&#xff0c;单击“立即下载”进入下载页面。 DevEco Studio提供了Windows版本…

PCIe基础

PCIe基础 PCI Express&#xff0c;简称PCI-E&#xff0c;官方简称PCIe&#xff0c;是计算机总线的一个重要分支&#xff0c;它沿用既有的PCI编程概念及信号标准&#xff0c;并且构建了更加高速的串行通信系统标准。目前这一标准由PCI-SIG组织制定和维护。 拓扑 配置空间 在 P…

【Python】plt.title()函数

plt.title() 是 matplotlib 库中用于设置图形标题的函数。 一、基本语法如下 plt.title(label, fontdictNone, locNone, padNone, **kwargs)其中&#xff1a; label 是要设置的标题文本&#xff0c;可以是字符串类型或者是数学表达式。fontdict 是一个可选的参数&#xff0c…

QT 基于AES加解密的使用,解析java端发来的密文

背景 java端往ukey中写授权信息&#xff0c;C端从ukey中读取授权信息。 java端写入的授权信息是加密的&#xff0c;并且要可逆。 因为java端采用的是AES加密的&#xff0c;所以我(C端)也只好采用对等形式搞定了。 使用的库 开发环境&#xff1a;Win10 Qt5.13 QT中AES加解密…

uniapp项目打包apk相关(androidStudio,Hbuildx,dCloud)

1、先注册和登陆dCloud平台&#xff0c;管理应用信息。 需要准备的参数(3个) APP_ID&#xff08;如&#xff1a;__UNI__123ABCD&#xff09; 包名&#xff08;如&#xff1a;com.hx.mhoa&#xff09; 应用签名&#xff08;应用sha1&#xff0c;应用md5&#xff0c;应用sha256&…

HLS协议格式

HLS协议格式 ES流&#xff08;Elementary Stream&#xff09;&#xff1a;基本码流&#xff0c;不分段的音频、视频或者其他信息的连续码流PES流&#xff0c;把基本码流ES分割成段&#xff0c;并加上相应头文件打包成形的打包基本码流PS流&#xff08;Program Stream&#xff…

一文解析RISC-V SiFive U54内核——中断和异常

中断 U54内核支持M模式和S模式中断。默认情况下&#xff0c;所有中断都在M模式下处理 。对于支持S模式的 hart&#xff0c;可以有选择地将中断委托给S模式。 U54中断架构如下&#xff1a; U54内核还支持两种类型的 RISC-V 中断&#xff1a;本地 和全局 。 本地中断 &#xf…

目标检测算法之Fast R-CNN和Faster R-CNN原理

一、Fast R-CNN原理 在SPPNet中&#xff0c;实际上特征提取和区域分类两个步骤还是分离的。只是使用ROI池化层提取了每个区域的特征&#xff0c;在对这些区域分类时&#xff0c;还是使用传统的SVM作为分类器。Fast R-CNN相比SPPNet更进一步&#xff0c;不再使用SVM作为分类器&a…

议程更新 | Occlum Meetup 北京站--一起来聊机密计算 TEE

首届 Occlum Meetup 还有 3 天就要和大家见面啦&#xff01;北京的小伙伴们&#xff0c;我们来喽&#xff01;为了能和大家有更充足的时间交流沟通&#xff0c;我们小小的调整了一下议程&#xff5e;最新议程请见下方。本次 Meetup 是 Occlum 开源社区首次在北京线下开展&#…

yolo车牌识别、车辆识别、行人识别、车距识别源码(包含单目双目)

视频效果 车牌识别视频车辆识别视频yolov5车辆识别视频yolov5 yoloR对比行人车辆识别视频yolo车距1完整源码http://www.hedaoapp.com/goods/goodsDetails?pid4132 系统设计 车牌自动识别是以计算机视觉处理、数字图像处理、模式识别等技术为基础&#xff0c;对摄像机所拍摄的…

从零开始,简单几步教会你shopify店铺设计

在弄完shopify的基础配置之后&#xff0c;我们就开始可以设计一下我们的店铺。人都是视觉动物&#xff0c;很难不被好看的东西吸引&#xff0c;所以把店面弄得漂漂亮亮的就是我们赢得顾客信赖的第一步。接下来龙哥会详细地解析一下&#xff0c;shopify的店铺设计与配置要怎么展…

Elasticsearch 核心技术(八):常用 DSL 查询(全文搜索、精确匹配、布尔查询)

❤️ 博客主页&#xff1a;水滴技术 &#x1f680; 支持水滴&#xff1a;点赞&#x1f44d; 收藏⭐ 留言&#x1f4ac; &#x1f338; 订阅专栏&#xff1a;大数据核心技术从入门到精通 文章目录一、全文搜索1.1 查询所有&#xff08;match_all&#xff09;1.2 全文检索&…

CS-Stdio Display Builder

Display Builder 1) 操作界面编辑器和Runtime 2&#xff09;在EPICS edd/dm, medm, edm, ...想法上构建 3&#xff09;与CS-Studio BOY兼容性非常好 4&#xff09;大约2015年在CS-Stdio/Eclipse中开始&#xff0c;现在在CS-Studio/Phoebus中 5) 从209年以Web Runtime获取。…
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