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LeetCode 583 两个字符串的删除操作

题目链接：https://leetcode.cn/problems/delete-operation-for-two-strings/

思路：

方法一:两个子串同时删除元素

• dp数组的含义
  $dp[i][j]$代表以i-1为结尾的字符串word1，和以j-1位结尾的字符串word2，想要达到相等，所需要删除元素的最少次数

• 递推公式
  本题有两种情况：
  word1[i - 1] == word2[j - 1]
  显然此时递推公式为：
  $$dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1$$
  word1[i - 1] != word2[j - 1]
  此时有三种情况：
  1. 删除word1里的第i-1个元素
  $$dp[i][j]=dp[i-1][j]+1$$
  2. 删除word2里的第i-1个元素
  $$dp[i][j]=dp[i][j-1]+1$$
  3. 同时删除word1和word2里的第i-1个元素
  $$dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1$$
  因为要求的是最小值，所以总的递推公式为：
  $$dp[i][j]=min(dp[i-1][j]+1,dp[i][j-1]+1,dp[i-1][j-1]+1)$$

• 初始化
  $dp[i][0]$代表word1要和空字符相等需要多少次删除操作，显然为i；同理，$dp[0][j]$代表word2要和空字符 相等需要多少次删除操作，显然为j，所以初始化操作如下：

  for(int i = 0; i <= word1.size(); i++)  dp[i][0] = i;
  for(int j = 0; j <= word2.size(); j++)  dp[0][j] = j;
  

• 遍历顺序
  显然遍历是从上到下，从左到右

代码：

class Solution {
public:
    int minDistance(string word1, string word2) {
        vector<vector<int>>dp(word1.size() + 1, vector<int>(word2.size() + 1, 0));

        for(int i = 0; i <= word1.size(); i++)  dp[i][0] = i;
        for(int j = 0; j <= word2.size(); j++)  dp[0][j] = j;

        for(int i = 1; i <= word1.size(); i++)
        {
            for(int j = 1; j <= word2.size(); j++)
            {
                if(word1[i - 1] == word2[j - 1])
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
                else
                    dp[i][j] = min({dp[i][j - 1] + 1, dp[i - 1][j] + 1, dp[i - 1][j - 1] + 2});
            }
        }
        
        return dp[word1.size()][word2.size()];
    }
};

方法二:求出最长公共子序后，两个字符串分别减去最长公共子序的长度

• dp数组的含义
  $dp[i][j]$代表以i-1为结尾的字符串word1，和以j-1位结尾的字符串word2的最长公共子序的长度
• 递推公式
  本题有两种情况：
  word1[i - 1] == word2[j - 1]
  显然此时递推公式为：
  $$dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1$$
  word[i - 1] != word[j - 1]
  例子：text1:abc text2:ace
  有两种情况：
  因为最后c和e不相同，所以可以是abc和ac相比，得出公共子序列的长度，也可以是ab和ace相比
  所以此时递推公式是：
  $$dp[i][j]=max(dp[i][j-1],dp[i-1][j])$$
• 初始化
  dp[i][0]和dp[0][j]显然都是没有意义的，即二维数组的第一行和第一列，将其全部初始化为0即可。其余数值因为会在递推公式中被覆盖，所以也都初始化为0，这样可以使得代码相对简洁。
• 遍历顺序
  显然遍历是从上到下，从左到右

代码

class Solution {
public:
    int minDistance(string word1, string word2) {
        vector<vector<int>>dp(word1.size() + 1, vector<int>(word2.size() + 1, 0));

        for(int i = 1; i <= word1.size(); i++)
        {
            for(int j = 1; j <= word2.size(); j++)
            {
                if(word1[i - 1] == word2[j - 1])
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                else
                    dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
            }
        }

        int result = word1.size() + word2.size() - 2 * dp[word1.size()][word2.size()];

        return result;
    }
};

总结

想到了第二种方法，第一种方法不相等时候的情况没有考虑清楚。

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LeetCode 72 编辑距离

题目链接：https://leetcode.cn/problems/edit-distance/

思路：

• dp数组的含义
  dp[i][j]dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串word1变为以下标j-1为结尾的字符串word2的最小的操作数为。

• 递推公式
  本题有两种情况：
  word1[i - 1] == word2[j - 1]
  此时说明需要继续向后修改即可。
  所以此时递推公式为：
  $$dp[i][j]=dp[i-1][j-1]$$

  word1[i - 1] != word2[j - 1]
  有三种操作方法：
  1. 删除word1的第i-1个元素
  此时递推公式为：
  $$dp[i][j]=dp[i-1][j]+1$$
  2. 替换word1的第i-1个元素
  那么就要在$dp[i-1][j-1]$(以i-2为结尾的word1子串和以j-2结尾的word2子串)的基础上对word1的第i-1个元素进行操作，所以此时递推公式为：
  $$dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1$$
  3. 在word1的第i-2个元素后添加一个元素
  在word1添加一个元素，相当于word2删除一个元素，例如 word1 = “a” ，word2 = “ad”，word2删除元素’d’ 和 word1添加一个元素’d’，变成word1=“ad”, word2=“a”， 最终的操作数是一样！
  所以此时递推公式为：
  $$dp[i][j]=dp[i][j-1]+1$$
  dp数组如下图所示意

  	            a                         a     d
  		+-----+-----+             +-----+-----+-----+
  		|  0  |  1  |             |  0  |  1  |  2  |
  		+-----+-----+   ===>      +-----+-----+-----+
  	  a |  1  |  0  |           a |  1  |  0  |  1  |
  		+-----+-----+             +-----+-----+-----+
        d |  2  |  1  |
          +-----+-----+
  

  所以总体的递推公式为：
  $$dp[i][j]=min(dp[i-1][j]+1,dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1,dp[i][j]=dp[i][j-1]+1)$$

• 初始化
  $dp[i][0]$代表word1要和空字符相等需要多少次删除操作，显然为i；同理，$dp[0][j]$代表word2要和空字符 相等需要多少次删除操作，显然为j，所以初始化操作如下：

  for(int i = 0; i <= word1.size(); i++)  dp[i][0] = i;
  for(int j = 0; j <= word2.size(); j++)  dp[0][j] = j;
  

• 遍历顺序
  显然遍历是从上到下，从左到右

代码：

class Solution {
public:
    int minDistance(string word1, string word2) {
        vector<vector<int>>dp(word1.size() + 1, vector<int>(word2.size()+ 1, 0));

        for(int i = 0; i <= word1.size(); i++)  dp[i][0] = i;
        for(int j = 0; j <= word2.size(); j++)  dp[0][j] = j;

        for(int i = 1; i <= word1.size(); i++)
        {
            for(int j = 1; j <= word2.size(); j++)
            {
                if(word1[i - 1] == word2[j - 1])
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j -1];
                else
                    dp[i][j] = min({dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1, dp[i - 1][j - 1] + 1});
            }
        }

        return dp[word1.size()][word2.size()];
    }
};

总结

重点要理解word1添加元素相当于word2删除元素

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今日总结：

学习了编辑距离问题。