9.8分割等和子集（LC416-M）

算法：

可以转换为背包问题：

一个商品如果可以重复多次放入是完全背包，而只能放入一次是01背包，写法还是不一样的。

要明确本题中我们要使用的是01背包，因为元素我们只能用一次。

只有确定了如下四点，才能把01背包问题套到本题上来。

背包的体积为sum / 2
背包要放入的商品：集合里的元素。重量为元素的数值，价值也为元素的数值
背包如果正好装满，说明找到了总和为 sum / 2 的子集。
背包中每一个元素不可重复放入。

动规五步曲：

1.确定dp数组及其下标：

01背包中，dp[j] 表示：容量为j的背包，所背的物品价值最大可以为dp[j]。

本题：dp[j]表示背包总容量（所能装的总重量）是j，放进物品后，背的最大重量为dp[j]。

2.确定递推公式：

01背包的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

本题，相当于背包里放入数值，那么物品i的重量是nums[i]，其价值也是nums[i]。

所以递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);

3.dp初始化：

从dp[j]的定义来看，dp[0]一定是0。

如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了，如果题目给的价值有负数，那么非0下标就要初始化为负无穷。

这样才能让dp数组在递推的过程中取得最大的价值，而不是被初始值覆盖了。

4.确定遍历顺序：

01背包如果使用一维dp数组，物品遍历的for循环放在外层，遍历背包的for循环放在内层，且内层for循环倒序遍历！

// 开始 01背包
for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {
    for(int j = target; j >= nums[i]; j--) { // 每一个元素一定是不可重复放入，所以从大到小遍历
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
    }
}

5.举例推导dp

dp[j]的数值一定是小于等于j的。

如果dp[j] == j 说明，集合中的子集总和正好可以凑成总和j，理解这一点很重要。

dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i])

- `dp` 数组初始化为 `[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]`（长度为 `target + 1`，即 12）。
- `i = 0`，`nums[0] = 1`：
  - 内层循环从 `target`（11）到 `nums[0]`（1）：
    - `j = 11`，`dp[11] = Math.max(0, dp[11 - 1] + 1) = 1`；
    - `j = 10`，`dp[10] = Math.max(0, dp[10 - 1] + 1) = 1`；
    - `j = 5`，`dp[5] = Math.max(0, dp[5 - 1] + 1) = 1`；
    - `j = 1`，`dp[1] = Math.max(0, dp[1 - 1] + 1) = 1`；
- `i = 1`，`nums[1] = 5`：
  - 内层循环从 `target`（11）到 `nums[1]`（5）：
    - `j = 11`，`dp[11] = Math.max(1, dp[11 - 5] + 5) = 6`；
    - `j = 10`，`dp[10] = Math.max(1, dp[10 - 5] + 5) = 6`；
    - `j = 5`，`dp[5] = Math.max(1, dp[5 - 5] + 5) = 6`；
    - `j = 1`，`dp[1] = Math.max(1, dp[1 - 5] + 5) = 5`；
- `i = 2`，`nums[2] = 11`：
  - 内层循环从 `target`（11）到 `nums[2]`（11）：
    - `j = 11`，`dp[11] = Math.max(6, dp[11 - 11] + 11) = 11`；
    - `j = 10`，`dp[10] = Math.max(6, dp[10 - 11] + 11) = 11`；
    - `j = 5`，`dp[5] = Math.max(6, dp[5 - 11] + 11) = 11`；
    - `j = 1`，`dp[1] = Math.max(6, dp[1 - 11] + 11) = 11`；
- `i = 3`，`nums[3] = 5`：
  - 内层循环从 `target`（11）到 `nums[3]`（5）：
    - `j = 11`，`dp[11] = Math.max(11, dp[11 - 5] + 5) = 11`；
    - `j = 10`，`dp[10] = Math.max(11, dp[10 - 5] + 5) = 11`；
    - `j = 5`，`dp[5] = Math.max(11, dp[5 - 5] + 5) = 11`；
    - `j = 1`，`dp[1] = Math.max(11, dp[1 - 5] + 5) = 11`；

由于在 `i = 3` 时 `dp[target] == target`，所以最终返回 `true`。

正确代码：

class Solution {
    public boolean canPartition(int[] nums) {

        int sum = 0;
        //求和
        for(int a=0; a<nums.length; a++){
            sum += nums[a];
        }
        //若sum为奇数，无法等分
        if (sum % 2 != 0) return false;
        //求target
        int target = sum/2;
        int[] dp = new int[target+1];
        //dp初始化，所有值都为0（就算不初始化，java也会自动把int数组初始化为0）
        for (int i=0; i<dp.length;i++){
            dp[i]=0;
        }

        for(int i = 0; i<nums.length; i++){
            for(int j=target; j>=nums[i]; j--){
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-nums[i]]+nums[i]);
            }
        }
        //若背包装满了，return true
        return dp[target] == target;
    }}