前置知识：分部积分法
题1： 计算 ∫ x 2 ln x d x \int x^2\ln xdx ∫x2lnxdx
解：
\qquad
原式
=
1
3
∫
ln
x
d
(
x
3
)
=
1
3
x
3
ln
x
−
1
3
∫
x
3
d
(
ln
x
)
=\dfrac 13\int \ln xd(x^3)=\dfrac 13x^3\ln x-\dfrac 13\int x^3d(\ln x)
=31∫lnxd(x3)=31x3lnx−31∫x3d(lnx)
= 1 3 x 3 ln x − 1 3 ∫ x 3 ⋅ 1 x d x = 1 3 x 3 ln x − 1 9 x 3 + C \qquad\qquad =\dfrac 13x^3\ln x-\dfrac 13\int x^3\cdot\dfrac 1xdx=\dfrac 13x^3\ln x-\dfrac 19x^3+C =31x3lnx−31∫x3⋅x1dx=31x3lnx−91x3+C
题2： 计算 ∫ x e 2 x d x \int xe^{2x}dx ∫xe2xdx
解：
\qquad
原式
=
1
2
∫
x
d
(
e
2
x
)
=
1
2
x
e
2
x
−
1
2
∫
e
2
x
d
x
=\dfrac 12\int xd(e^{2x})=\dfrac 12xe^{2x}-\dfrac 12\int e^{2x}dx
=21∫xd(e2x)=21xe2x−21∫e2xdx
= 1 2 x e 2 x − 1 4 e 2 x + C \qquad\qquad =\dfrac 12xe^{2x}-\dfrac 14e^{2x}+C =21xe2x−41e2x+C
题3： 计算 ∫ x arctan x d x \int x\arctan xdx ∫xarctanxdx
解：
\qquad
原式
=
1
2
∫
arctan
x
d
(
x
2
)
=\dfrac 12\int \arctan xd(x^2)
=21∫arctanxd(x2)
= 1 2 x 2 arctan x − 1 2 ∫ x 2 d arctan x \qquad\qquad =\dfrac 12x^2\arctan x-\dfrac 12\int x^2d\arctan x =21x2arctanx−21∫x2darctanx
= 1 2 x 2 arctan x − 1 2 ∫ x 2 1 + x 2 d x \qquad\qquad =\dfrac 12x^2\arctan x-\dfrac12\int \dfrac{x^2}{1+x^2}dx =21x2arctanx−21∫1+x2x2dx
= 1 2 x 2 arctan x − 1 2 ∫ d x + 1 2 ∫ 1 1 + x 2 d x \qquad\qquad =\dfrac 12x^2\arctan x-\dfrac12\int dx+\dfrac 12\int \dfrac{1}{1+x^2}dx =21x2arctanx−21∫dx+21∫1+x21dx
= 1 2 x 2 arctan x − 1 2 x + 1 2 arctan x + C \qquad\qquad =\dfrac 12x^2\arctan x-\dfrac 12x+\dfrac 12\arctan x+C =21x2arctanx−21x+21arctanx+C
总结
一般情况下， u u u的优先级为：
- 反三角函数
- 对数函数
- 幂函数
- 指数函数
- 三角函数
