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之前我们介绍了01背包，但是dp数组是二维化的，现在我们需要将其变成一维数组，如果已经对二维化的01背包十分了解了，那么理解一维化的dp数组也不是问题。

目录

分析

 遍历顺序

原二维遍历

一维倒序遍历

代码

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分析

我们再拿这个表格：

 

图中i为物品序号，value[i]为物品价值，weight[i]为物品重量。

j为背包大小。

原dp数组的推导公式是

dp[i][j]=max(dp[i-1][j-1],value[i]+dp[i-1][j-weight[i]]);

即在选与不选中抉择，如果不选，那么总价值就是当前大小背包的原价值（即只考虑当前物品前的所有物品），

如果选，那么总价值就是该物品价值加上剩余空间背包的最优解。

那我们不妨将dp数组想象成一个滚动的一维数组，每次对一个物品进行各种大小背包的分析，然后再对下一个物品进行各种大小背包的分析，每次均保留最优解。

这样下来，这个一维化的数组就是对所有已分析过的物品的最优解了。

 遍历顺序

原二维遍历

我们可以发现，在原二维数组里，我们是在dp[i-1][j-1]和value[i]+dp[i-1][j-weight[i]]中选取最大值，因为不考虑当前物品，所以我们是在dp[i-1]范围内选取，即在当前物品前面的所有已分析物品中。

一维倒序遍历

在一维数组里，我们没有[i]这个维度，那我们如何找到“当前物品前面的所有已分析物品中”这个范围呢？

答案很简单，我们的一维数组是考虑完前面所有物品的最优解，本身就是“当前物品前面的所有已分析物品中”的范围，所以我们只需要在原数值和新数值中抉择即可：

dp[j]=max(dp[j],value[i]+dp[j-weight[i]]);

但是如果我们按照背包从小打大的顺序遍历，即按照从0到背包最大容量的顺序写的话，前面的较小背包就会考虑进当前物品，当后面的背包需要dp[j-weight[i]]的时候，就算两遍当前物品i，所以我们需要按背包容量从大到小遍历。

这时就会有疑问了，那如果按照背包容量从大到小遍历，那遇到dp[j-weight[i]]的情况，需要找小背包怎么办，这时候就需要回过头想想，我们的一维dp数组保存的就是考虑了当前物品前所有物品的最优解，就是我们需要的dp[j-weight[i]]。

代码

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

class Solution
{
public:
    int bag(vector<int>& weight,vector<int>& value,int bag)
    {
        //初始化
        vector<int> dp(bag+1,0);
        //dp[j]=max(dp[j]+value[i]+dp[j-weight[i]]);
        //初始化
        dp[0]=0;
        //遍历顺序
        for(int i=0;i<weight.size();i++)
        {
            for(int j=bag;j>=0;j--)
            {
                /*if(weight[i]>j)
                {
                    dp[j]=dp[j];
                }*/
                if(weight[i]<=j)
                {
                    dp[j]=max(dp[j],value[i]+dp[j-weight[i]]);
                }
                cout<<dp[j]<<' ';
            }
            cout<<endl;
        }
        return dp[bag];
    }
};

int main() {
    std::cout << "Hello World!\n";
    vector<int> weight={1,3,4};
    vector<int> value={15,20,30};
    int bag=4;
    Solution so;
    cout<<so.bag(weight, value, bag);
}