自动控制原理——根轨迹法

本文中所有的截图都来自于西北工业大学卢京潮教授的ppt，侵删。

根轨迹的基本概念

根轨迹——系统性能指标

举例说明：

在使用根轨迹法时，一般说根轨迹就说说闭环意义上的根轨迹，没有开环根轨迹一说。我们习惯使用首1标准型，将系统的开环传递函数化成首1标准型，此时K*是根轨迹增益，根轨迹增益仅对开环而言，闭环没有根轨迹增益一说。此时研究K对系统极点的影响，可以转换成K*对极点的影响，因为K*=2K，所画出的根轨迹如图所示。

对根轨迹图进行分析

以1为分界点，在是实轴上时，极点是两个互异的单根，是过阻尼状态，超调量是0，主导极点是靠近虚轴最近的那个，调节时间越来越短。从实轴向两边时，此时是一种欠阻尼状态。

闭环零点与开环零点、极点之间的关系

由上图可知闭环零点时恒等，也就是前向通道的开环零点和反馈通道的开环极点，所以不用研究增益对闭环零点的影响。闭环极点与开环零点、开环极点和增益有关，有画根轨迹的必要。

根轨迹方程及含义

举例说明：

其中就是根轨迹方程，它是一个复方程，所以它是有模和相角的。在复平面上找合适的s解，首先看①点，一点可以满足方程组的第一个式子，当K*=s-p的模时，但是不满足第二个式子，说明①点不是根轨迹上的点；再看②点，可以满足方程组，说明②点是根轨迹上的点，此时可以从p点开始一直到无穷都可以满足方程组的要求，为根轨迹。

总结一般方法就是：

举例说明：

基础知识补充：两个复数相乘后的幅角是这两个复数幅角之和。

总结：

绘制根轨迹的基本法则

这里法则3的理解，建议听一下教授的讲解。

这里的法则4中的n是开环极点的个数，m是开环零点的个数。GH(s)表示的是闭环传递函数。

举例应用法则来绘制根轨迹图：

分析：

（1）对根轨迹大致走向进行分析：首先根据法则三可知，在实轴上，根轨迹位于奇数点的左侧，可知-1到-2之间是没有根轨迹的，根轨迹位于实轴上0到-1之间和-2左边；根据法则一根轨迹始于开环极点，终于开环零点，本题中有两个开环极点，一个开环零点，可知必然有一个开环极点指向开环零点，所以两个根轨迹在-3到-4之间汇合之后其中有一条指向零点-2；根据法则1如果开环极点的个数大于零点的个数，那么多出来的极点指向无穷远处，所以两条根轨迹汇合之后有一条指向无穷远处。

（2）证明在复平面上的根轨迹是圆弧形状：在实轴的根轨迹(1)已经讨论过了，在复平面上的根轨迹，也就是闭环几点表达式中是负值时，进而将闭环极点表达式写成复数形式，将实部σ当做x值，将虚部ω当做是y值，类比圆的方程式x的平方+y的平方=1，只要将其化成圆的表达式即可吗，这里是，可知圆心是(-2,0)，半径是根号二的圆，这里的圆心刚好是开环零点，一般情况下都是这个结论，但是不是总是，不是一个一般性的结论。

画出其根轨迹后，根据根轨迹的形状对其进行动态性能指标的分析：

分析：随着K*的增加，从0到带Kd1,在实轴上，阻尼比是1，超调量是0，随着距离虚轴越来越远，调节时间越来越小。从Kd1到Kd2，β角从小变大再变小，所以阻尼比先减小后增大，调节时间越来小（调节时间等于3.5除以极点的实部）。从Kd2到无穷，调节时间减小。系统是绝对稳定的，因为根轨迹都在虚轴的左边。

从上面的例子中可以引出一个一般性的结论就是：

法则五：渐近线

其中Pi是开环极点，Zi还开环零点，φa是渐进线和实轴正方向的夹角。证明：在指向无穷远处的根轨迹上取一极点的值，由于该极点距离开环零点和极点都很远，此时可以近似地将所有的开环极点和开环零点看成是一样的，就是σa。

举例说明：

例子2：

第一问分析：由开环传递函数可知由三个开环极点，一个开环零点，n-m等于2，所以有两条根轨迹指向无穷远处，由法则五可以计算出这两条渐近线。两条渐近线在0到-1之间分离，分离点在-0.5和-1之间，因为法则4，n-m≥2，闭环极点之和是一个常值，本题中有三个极点，其中一个确定在-3和-4之间变动，方向向右，剩余两个极点之和应该整体向左，这样才能抵消，保证它是一个常值。

第二问分析：使用根之和概念，当开环极点n-开环零点m≥2时，系统闭环极点之和等于系统开环极点之和。

举例说明：

法则七：

法则七对应于与虚轴的交点的取值，方法一根据第三章劳斯判据，出现全零行时系统可能出现一对纯虚根，或者一对符号相反的实根或者实部符号相异虚部相同的复根。这里令第三行为0，可求出虚根。

法则八：

法则理解，在复平面上方那个开环极点极近的位置取一点为闭环极点，根据相角条件的哪个式子所有的开环极点和开环零点向那个极点引线需要满足相角条件，由于这个闭环极点和那个开环极点位置极近，所有就相当于向这个开环极点引线。

举例说明：

下面举几个综合的例子说明以上八条法则，例1：

例2：

分析：画出所有的极点、零点、渐近线、分离点等，画根轨迹时，本题是由坐半平面上的几点在实轴上相加，然后一支向零点、一支向无穷远处，是因为这两个极点靠近该零点比另外右半平面的两个极点相交后靠近更加有优势。所以最终是左半平面上的两个极点相交后其中一支指向该零点。有时候极点和零点的分布差一点，就会影响整个根轨迹的分布。

广义根轨迹

参数根轨迹

第一种广义根轨迹就是除了根轨迹增益K*之外其他参数变化时系统的根轨迹，举例说明：

分析：该题目中根轨迹增益与a成比例，a同样是开环零点，和上一节有所不同。解决这种问题思路是将根据开环传递函数将特征式写出来，再根据等效特征方程构造一个的等效开环传递函数，构造的方法就是将特征式中含有a的项放在分子，不含a的常数项放在分母，这样构造出来的等效开环传递函数与原来的开环传递函数对应的闭环传递函数特征方程式一样的；构造出来的等效传递函数就可以使用上一节的方法画出根轨迹。注意：等效传递函数的作用只是帮助画出根轨迹，仅此而已。

第二问：当阻尼比为1时，阻尼比是针对二阶系统，这里是三阶，现在有三条根轨迹，由前面学习的靠近虚轴的为主导极点，对动态性能指标影响较大，可以延伸出靠近虚轴较近的根轨迹起主导作用。所以这里的阻尼比指的就是距离虚轴较近的两个分支上的极点构成的二阶子式对应的ξ。二阶系统中阻尼比是1对应于临界阻尼情况，在实轴上有两个二重根，这就是分离点。此时就可以将问题转化成在分离点处对应的二阶闭环传递函数是多少？在分离点处a的值是2/27，此时可以将原来的开环传递函数写成，进而根据这个开环传递函数写出该单位反馈系统的闭环传递函数，可以分解因式写成（这里可以根据跟之和：闭环极点之和等于开环极点之和等于一个常数，不用展开后合并，已知其中两个极点是1/6，根据跟之和可以求出第三个极点）。

最后分析系统的动态性能指标，a从0到分离点2/27系统是一种过阻尼状态，极点一直在负实轴上，系统单调收敛，无振荡，调节时间是减小的；a从分离点2/27变换到虚轴交点对应的a值（a=1），主导极点在左半平面上，系统震荡收敛；a从1变化到无穷，主导极点在右半平面上，主导极点大于0，系统振荡发散。

例2：

这里用前面的方法是将含有T的放在分母上会发现分子的阶次比分母高，可以提取T化成。

法2：另一种可以将使分子阶数不高于分母阶数的方法，将分子乘于，认为有一个极点位于无穷远处，进而构造等效开环传递函数。

零度根轨迹

注意这里和前面的相角条件不一样了，这里最后等于正1的相角，正1的相角是2kπ。

零度根轨迹法则和常规的根轨迹略有不同：

其中第三条法则是和常规根轨迹法则三相反；

举例：对比常规根轨迹和零度根轨迹

注意：这里的零度根轨迹和常规根轨迹不是对立的状态，是同一事物的两个方面，这个理解建议听卢老师的课理解。这里简要说明一下，有错误欢迎指正，如果系统是正反馈，那么系统结构图就是，它等价于（这个在形式上是一个反馈系统，当k从0到正无穷变化时，也就是-k从正0到负无穷变换，就相当于正反馈的零度根轨迹，也就是红线部分；当k从0到负无穷变换时，也就是-k从0到正无穷变化，就相当于负反馈的常规根轨迹，也就是蓝线部分）。

注意：画根轨迹之前先要弄清楚是180度根轨迹还是零度根轨迹，先写出根轨迹方程，将等号左边弄成从0到正无穷的变换，如果此时等号右边是负1，就是180度根轨迹；如果等号左边是正1，那么就是0度根轨迹（零度根轨迹是系统实质上处于正反馈时的根轨迹，是否是正反馈看反馈口的符号不算数，要看这里右边是否是正1）。

补充：关于根轨迹对称性的定理

分析：关于图1，由于在实轴上的两个极点距离比较近，所以它两先相遇碰到一起在向上下两个方向走，最后和另外两个在复平面极点相遇之后再发散；走向取决于实轴上两个极点和复平面上的两个极点谁的距离近，这里如果是复平面上的两个极点距离较近，那就是它两先在实轴上碰到，再向左右两个方向走；如果距离一样近，那么就是一起走到实轴上-2，再同时向四周发散。大概图像如下：

利用根轨迹分析系统的性能

例1：

首先画出根轨迹图：

第二问，对于高阶系统来说，阻尼比指的都是它的主导共轭极点对应的二阶子式而言的。

第三问：

第四问：

该系统是一个三阶系统，三阶系统至少有一个实根，由模值条件可知，由前两问可以大致规划出λ的取值范围，是在分离点-4.667和第三问-4.31之间。

目前已经确定出来闭环极点的具体值，接下来确定闭环零点（闭环零点包括前向通道的零点和反馈通道的极点），将闭环的极点和零点在复平面中标出来：

由于λ3距离虚轴比较远，并且在其附近有一闭环零点，在闭环传递函数分子分母上可以近似相互抵消，所以忽略这个极点和零点对系统动态性能指标的影响，虽然闭环零点和这个闭环极点的作用可以相互抵消，但是增益是需要保留下来，否则对应的稳态值就变了，见下图，其中蓝线是把增益去掉了。

视λ1和λ2为闭环主导极点有：

例2：

第一问计算开环传递函数，出现零极点对焦的情况，可直接约去，求出开环传递函数，可以直接使用这个开环传递函数画出根轨迹，但是画出的这个根轨迹不包括所有的闭环极点（因为上面约去），只是包括随参数变化而变化的极点，不包括不随参数变化而变化的极点（这里的闭环极点-2就是）。在分析系统的动态性能指标时需要把闭环传递函数写出来，接下来分析其动态性能指标。

如果不考虑另外两个闭环极点和零点的作用，只考虑在根轨迹上的闭环极点的话，超调量会增加，峰值时间会靠前。

例2：PID控制

PD控制相对于P控制，系统的稳态误差基本不变，但是系统的动态性能指标改善了，首先由可知调节时间变小了，由可知极点对应的β角也会总体变小，阻尼比会增大，超调量也会相应减小得到改善。PI控制相对于P控制，调节时间变长了，β角不管怎么取都会比P控制要大，所以超调量也会变大，但是系统的稳态精度变高了（系统的型别变高，跟踪信号的能力变强）。所以想要同时提高系统的稳态精度和动态性能指标就要同时使用积分控制和微分控制，此时系统相对于P控制的型别还是提高了一个档次，系统的稳态精度提高了，可以取合适的值使得调节时间和超调量减小。