经典版

题目链接：1.小明的背包1 - 蓝桥云课 (lanqiao.cn)

01背包问题中，每种物品只有两种状态，即拿或不拿。设状态dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w]+v)；如果不拿物品i，那么最大价值就是dp[i-1][j]，如果拿了就是从体积j-v转移过来，体积会变大w，价值增加v，最后输出dp[N][V]。

package lanqiao;

import java.util.Scanner;

/**
 * 2024/3/13
 * 背包容量为V，商场一共有N件物品，第i件物品的体积为wi，价值为vi
 * 求不超过体积的情况下所获得的最大价值为多少
 */
public class lanqiao1174_小明的背包1 {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scan=new Scanner(System.in);
        int N=scan.nextInt();//物品个数
        int V=scan.nextInt();//背包容量
        int[] w=new int[N];//物品体积
        int[] v=new int[N];//物品价值
        for (int i=0;i<N;i++){//输入体积和价值
            w[i]=scan.nextInt();
            v[i]=scan.nextInt();
        }
        int[][] dp=new int[N+1][V+1];
        for (int i=1;i<=N;i++){
            for (int j=1;j<=V;j++){
                dp[i][j]=dp[i-1][j];
                if (j>=w[i-1]) {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - 1][j - w[i - 1]] + v[i - 1]);
                }
            }
        }
        System.out.println("最大价值为："+dp[N][V]);
    }
}

5 20
1 6
2 5
3 8
5 15
3 3
最大价值为：37

进程已结束，退出代码为 0

升阶版

01背包的优化

        首先有dp[i][j]=dp[i-1][j]，相当于将dp[i-1]复制给dp[i]，然后dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w]+v)，每次下标都是从小转移到大，由此可以将第一维度优化掉，直接设置一个一维数组，每次更新都从后往前更新，即变为：dp[j]=max(dp[j],dp[j-w]+v)，dp[j]表示此时物品总重量为j的情况下的最大价值

题目链接：1.背包与魔法 - 蓝桥云课 (lanqiao.cn)

设状态dp[i][j]表示物品总重量为i，且使用了j次魔法的情况下的最大值。

对于每个物品有三种选择：不选、选但不使用魔法、选且使用魔法

dp[j][0] = Math.max(dp[j][0], dp[j - w][0] + v);

dp[j][1] = Math.max(dp[j - w - K][0] + v * 2, dp[j][1]);

其中，dp[j][1]==dp[j][0]；

最后输出

Math.max(dp[M][0], dp[M][1])

package lanqiao;

import java.util.Scanner;

/**
 * 2024/3/13
 * 小蓝有N件物品，其中第i件重量是Wi，价值是Vi。他有一个背包，最大承重是M
 * 求最多能装总价值多少的wupin
 * 其中，小蓝可以使用一个魔法，仅一次，将一件物品的重量增加K，同时价值翻倍，当然也可以不使用魔法
 */
public class lanqiao2223_背包与魔法 {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scan = new Scanner(System.in);
        int N = scan.nextInt();//物品数量
        int M = scan.nextInt();//背包体积
        int K = scan.nextInt();//魔法增重
        int[] w = new int[N];
        int[] v = new int[N];
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            w[i] = scan.nextInt();
            v[i] = scan.nextInt();
        }
        int[][] dp = new int[M + 1][2];//定义一个二维数组，一个表示未用魔法的，一个表示使用魔法的，dp[ ][0]   dp[ ][1]
        for (int i = 1; i <= N; i++) {
            for (int j = M; j >= 0; j--) {
                if (j >= w[i - 1]) {
                    dp[j][0] = Math.max(dp[j][0], dp[j - w[i - 1]][0] + v[i - 1]);//未使用魔法的情况
                    dp[j][1] = Math.max(dp[j][1], dp[j - w[i - 1]][1] + v[i - 1]);//通过将为使用魔法的数值复制存储，方便进行下面使用魔法情况的运算
                }
                if (j >= w[i - 1] + K) {//考虑使用魔法情况（上述将同一个结果分别存储在不同维度，也是为了此处计算不影响结果）
                    dp[j][1] = Math.max(dp[j - w[i - 1] - K][0] + v[i - 1] * 2, dp[j][1]);
                }
            }
        }
        System.out.println("最大价值为：" + Math.max(dp[M][0], dp[M][1]));//比较使用魔法和未使用魔法的情况，输出较大的结果
    }
}

3 10 3
5 10
4 9
3 8
最大价值为：26

进程已结束，退出代码为 0