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分类讨论解析几何

LeetCode1330. 翻转子数组得到最大的数组值

给你一个整数数组 nums 。「数组值」定义为所有满足 0 <= i < nums.length-1 的 |nums[i]-nums[i+1]| 的和。
你可以选择给定数组的任意子数组，并将该子数组翻转。但你只能执行这个操作一次。
请你找到可行的最大数组值。
示例 1：
输入：nums = [2,3,1,5,4]
输出：10
解释：通过翻转子数组 [3,1,5] ，数组变成 [2,5,1,3,4] ，数组值为 10 。
示例 2：
输入：nums = [2,4,9,24,2,1,10]
输出：68
提示：
1 <= nums.length <= 3*10⁴
-10⁵ <= nums[i] <= 10⁵

分类讨论

n = nums.length
一，不翻转。
二，翻转nums[0,i2)。i2 $\in$ [0,n)。没必要翻转两个数组。
三，翻转nums[i1,n)。i1 $\in$ [0,n)。
四，翻转nums[i1,i2)，i1不为0,i2不为n,i1和i2是合法下标，i1<i2。nums[i1-1]和nums[i2]都会发生变化。
翻转之前：|a-b|+|c-d| 翻转之后：|a-c|+|b-d|。
翻转后的数组值变大 $\iff$ f(a,b,c,d) = |a-c|+|b-d| -|a-b|+|c-d| > 0。
令这4个数，下标从小大到大为a（nums[i1-1]）,b（nums[i1]）,c,d。
两点简化：
简化一，只需要考虑a <= c。
简化二，只需要考虑a <= b。

简化一证明

某组数a1,b1,c1,d1 ，a1 < c1 。
某外一组数{c1,d1,a1,b1} = f(c1,d1,a1,b1)=|c1-a1|+|d1-b1| - |c1-d1|-[a1-b1|
第一项第二项取反：|a1-c1|+|b1-d1|
第三项第四项互换：-|a1-b1|-|c1-d1|。
故：f(c1,d1,a1,b1) = f(a1,b1,c1,d1)

简化二证明：

某组数a1,b1,c1,d1 a1 > b1。
另外一组数{b1,a1,d1,c1} , f(b1,a1,d1,c1)=|b1-d1|+[a1-c1| -|b1-a1|-|d1-c1|
交换第一项和第二项目：|a1-c1|+|b1-d1|
第三项、第四项目，取反：-|a1-b1| - |c1,d1|
故：f(b1,a1,d1,c1) = f(a1,b1,c1,d1)。

等效问题

有一维四点a,b,c,d。 a <=b,a<=c。
线段ac的长度+线段bd的长度，能否大于线段ab的长度+线段cd的长度。
一，假定 b < c。
在这里插入图片描述
第一二种情况，两者有重合部分，长度不变。
第三四中情况，两者无重合部分，长度增加两条线段的间隙 $\times$ 2
二,b > c。

全部变短或不变，全部部分重合或全部重合。

结论

a<b a<c ，两条线段有重叠部分，则变短或不变。没有重叠部分，变长间隙长度 $\times$ 2。
上文已经证明了两种简化的结果一样，现在来证明两个简化的判断条件一致。

简化一证明

某组数a1,b1,c1,d1 ，a1 < c1 。
简化前：线段a1b1和c1d1是否重叠。
简化后：线程c1d1和a1b1是否重叠。
两种显然等效。

简化二证明：

某组数a1,b1,c1,d1 a1 > b1。
线段a1b1就是b1a1,c1d1就是d1c1，所以无需证明。

重新简化

a<b 且b < c 且c<d。
ac的长度+bd的长度== ad的长度+bc的长度，都是ad的长度+bc的长度。
故调整a、b，使得a<b。调整c、d，使得c<d。
调整后增加的长度就是:(c-b)*2，结果为负数忽略。

代码

template<class ELE,class ELE2>
void MinSelf(ELE* seft, const ELE2& other)
{
	*seft = min(*seft,(ELE) other);
}

template<class ELE>
void MaxSelf(ELE* seft, const ELE& other)
{
	*seft = max(*seft, other);
}

#define MacEnumMask(mask,maskMax) for (int mask = maskMax; mask; mask = (mask - 1) & maskMax) 

class Solution {
public:
	int maxValueAfterReverse(vector<int>& nums) {
		m_c = nums.size();
		long long ans = 0;
		for (int i = 0; i + 1 < m_c; i++)
		{
			ans += abs(nums[i] - nums[i + 1]);
		}
		int iAdd = 0;
		for (int i = 1; i < m_c; i++)
		{//交换nums[i,m_c)
			MaxSelf(&iAdd, abs(nums.back() - nums[i - 1]) - abs(nums[i] - nums[i - 1]));
		}
		for (int i = 1; i < m_c; i++)
		{//交换nums[0,i)
			MaxSelf(&iAdd, abs(nums.front() - nums[i]) - abs(nums[i] - nums[i - 1]));
		}
		{//a,b在前 ,c,d在后
			int  b = max(nums[0], nums[1]);
			for (int j = 2; j < m_c; j++)
			{
				int c = min(nums[j - 1], nums[j]);
				int d = max(nums[j - 1], nums[j]);
				MaxSelf(&iAdd, 2 * c - 2 * b);
				MinSelf(&b, d);
			}
		}
		{//c,d在前 ,a,b在后
			int b = max(nums[m_c-1], nums[m_c-2]);
			for (int j = m_c-2; j >0 ; j--)
			{
				int c = min(nums[j - 1], nums[j]);
				int d = max(nums[j - 1], nums[j]);
				MaxSelf(&iAdd, 2 * c - 2 * b);
				MinSelf(&b, d);
			}
		}
		return ans + iAdd;
	}
	int m_c;
};

测试用例

template<class T,class T2>
void Assert(const T& t1, const T2& t2)
{
	assert(t1 == t2);
}

template<class T>
void Assert(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{
	if (v1.size() != v2.size())
	{
		assert(false);
		return;
	}
	for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
	{
		Assert(v1[i], v2[i]);
	}

}

int main()
{
	vector<int> nums;
	{
		Solution sln;
		nums = { 2,4,9,24,2,1,10 };
		auto res = sln.maxValueAfterReverse(nums);
		Assert(68, res);
	}
	{
		Solution sln;
		nums = { 2, 3, 1, 5, 4 };
		auto res = sln.maxValueAfterReverse(nums);
		Assert(10, res);
	}
	

}

2023年5月

class Solution {
public:
int maxValueAfterReverse(vector& nums) {
m_c = nums.size();
int iTotal = 0;
for (int i = 0; i + 1 < m_c; i++)
{
iTotal += abs(nums[i] - nums[i + 1]);
}
//长度为1的子数组，结构不变。翻转整个数组结果不变
int iMaxAdd = 0;
//处理以索引0开头或m_c-1结尾的子数组
for (int i = 0; i + 1 < m_c; i++)
{
//翻转[0,i]
const int iLeft = abs(nums[i + 1] - nums[0]) - abs(nums[i + 1] - nums[i]);
//翻转[i+1,m_c)
const int iRight = abs(nums.back() - nums[i]) - abs(nums[i + 1] - nums[i]);
iMaxAdd = max(iMaxAdd, iLeft);
iMaxAdd = max(iMaxAdd, iRight);
}
int iMaxC = INT_MIN, iMinB = INT_MAX;
for (int i = 0; i + 1 < m_c; i++)
{
const int& x = nums[i];
const int& y = nums[i + 1];
iMaxC = max(iMaxC, min(x, y));
iMinB = min(iMinB, max(x, y));
}
iMaxAdd = max(iMaxAdd, 2 * (iMaxC - iMinB));
return iTotal + iMaxAdd;
}
int m_c;
};

扩展阅读

视频课程

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