第十三届蓝桥杯省赛真题 Java C 组【原卷】

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【考生须知】
试题 A: 排列字母
试题 B: 特殊时间
试题 C: 纸张尺寸
试题 D: 求和
试题 $\mathbf{E}:$ 矩形拼接
试题 F: 选数异或
试题 G: GCD
试题 H: 青蛙过河
试题 I: 因数平方和
试题 $\mathrm{J}$ : 最长不下降子序列

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第十三届蓝桥杯大赛软件赛省赛 Java C 组

【考生须知】

考试开始后, 选手首先下载题目, 并使用考场现场公布的解压密码解压试题。

考试时间为 4 小时。考试期间选手可浏览自己已经提交的答案, 被浏览的答案允许拷贝。时间截止后，将无法继续提交或浏览答案。

对同一题目, 选手可多次提交答案, 以最后一次提交的答案为准。

选手必须通过浏览器方式提交自己的答案。选手在其它位置的作答或其它方式提交的答案无效。

试题包含 “结果填空” 和 “程序设计” 两种题型。

结果填空题: 要求选手根据题目描述直接填写结果。求解方式不限。不要求源代码。把结果填空的答案直接通过网页提交即可, 不要书写多余的内容。

程序设计题: 要求选手设计的程序对于给定的输入能给出正确的输出结果。考生的程序只有能运行出正确结果才有机会得分。

注意: 在评卷时使用的输入数据与试卷中给出的示例数据可能是不同的。选手的程序必须是通用的, 不能只对试卷中给定的数据有效。

所有源码必须在同一文件中。调试通过后，拷贝提交。

注意: 不要使用 package 语句。

注意：选手代码的主类名必须为: Main, 否则会被判为无效代码。

注意: 如果程序中引用了类库, 在提交时必须将 import 语句与程序的其他部分同时提交。只允许使用 Java 自带的类库。

试题 A: 排列字母

本题总分：5 分

【问题描述】

小蓝要把一个字符串中的字母按其在字母表中的顺序排列。

例如, LANQIAO 排列后为 AAILNOQ。

又如, GOODGOODSTUDYDAYDAYUP 排列后为 AADDDDDGGOOOOPSTUUYYY

请问对于以下字符串，排列之后字符串是什么?

WHERETHEREISAWILLTHEREISAWAY

【答案提交】

这是一道结果填空的题, 你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个由大写字母组成的字符串, 在提交答案时只填写这个字符串, 填写多余的内容将无法得分。

试题 B: 特殊时间

本题总分: 5 分

【问题描述】

2022 年 2 月 22 日 $22 : 20$ 是一个很有意义的时间, 年份为 2022 , 由 3 个 2 和 1 个 0 组成, 如果将月和日写成 4 位, 为 0222 , 也是由 3 个 2 和 1 个 0 组成, 如果将时间中的时和分写成 4 位, 还是由 3 个 2 和 1 个 0 组成。

小蓝对这样的时间很感兴趣，他还找到了其它类似的例子，比如 111 年 10 月 11 日 $01 : 11, 2202$ 年 2 月 22 日 $22 : 02$ 等等。

请问，总共有多少个时间是这种年份写成 4 位、月日写成 4 位、时间写成 4 位后由 3 个一种数字和 1 个另一种数字组成。注意 1111 年 11 月 11 日 11:11 不算, 因为它里面没有两种数字。

【答案提交】

这是一道结果填空的题, 你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数, 在提交答案时只填写这个整数, 填写多余的内容将无法得分。

试题 C: 纸张尺寸

时间限制: $\mathrm{~s}$ 内存限制: $\mathrm{MB}$ 本题总分: 10 分

【问题描述】

在 ISO 国际标准中定义了 $\mathrm{A} 0$ 纸张的大小为 $\mathrm{~mm} \times 841 \mathrm{~mm}$ , 将 $\mathrm{A} 0$ 纸沿长边对折后为 $\mathrm{A} 1$ 纸, 大小为 $\mathrm{~mm} \times 594 \mathrm{~mm}$ , 在对折的过程中长度直接取下整 (实际裁前时可能有损耗)。将 $\mathrm{A} 1$ 纸沿长边对折后为 $\mathrm{A} 2$ 纸, 依此类推。

输入纸张的名称, 请输出纸张的大小。

【输入格式】

输入一行包含一个字符串表示纸张的名称, 该名称一定是 A0、A1、A2、 A3、A4、A5、A6、A7、A8、A9 之一。

【输出格式】

输出两行, 每行包含一个整数, 依次表示长边和短边的长度。

【样例输入 1】

$\begin{array}{llll}A0\end{array}$

【样例输出 1】

$\begin{array}{llll}1189\end{array}$

$\begin{array}{llll}841\end{array}$

【样例输入 2】

$\begin{array}{llll}A1\end{array}$

【样例输出 2】

$\begin{array}{llll}841\end{array}$

$\begin{array}{llll}594\end{array}$

试题 D: 求和

时间限制: $\mathrm{~s}$ 内存限制: $\mathrm{MB}$ 本题总分： 10 分

【问题描述】

给定 $n$ 个整数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ , 求它们两两相乘再相加的和, 即

$S=a_{1} \cdot a_{2}+a_{1} \cdot a_{3}+\cdots+a_{1} \cdot a_{n}+a_{2} \cdot a_{3}+\cdots+a_{n-2} \cdot a_{n-1}+a_{n-2} \cdot a_{n}+a_{n-1} \cdot a_{n} \cdot$

【输入格式】

输入的第一行包含一个整数 $n$ 。

第二行包含 $n$ 个整数 $a_{1}, a_{2}, \cdots a_{n}$ 。

【输出格式】

输出一个整数 $S$ , 表示所求的和。请使用合适的数据类型进行运算。

【样例输入】

$\begin{array}{llll}4\end{array}$

$\begin{array}{llll}1 & 3 & 6 & 9\end{array}$

【样例输出】

$\begin{array}{llll}117\end{array}$

【评测用例规模与约定】

对于 $\%$ 的数据, $\leq n \leq 1000,1 \leq a_{i} \leq 100$ 。

对于所有评测用例, $\leq n \leq 200000,1 \leq a_{i} \leq 1000$ 。

试题 $\mathbf{E}:$ 矩形拼接

时间限制: $\mathrm{~s}$ 内存限制: $\mathrm{MB}$ 本题总分: 15 分

【问题描述】

已知 3 个矩形的大小依次是 $a_{1} \times b_{1}, a_{2} \times b_{2}$ 和 $a_{3} \times b_{3}$ 。用这 3 个矩形能拼出的所有多边形中, 边数最少可以是多少?

例如用 $\times 2$ 的矩形 (用 A 表示)、 $\times 1$ 的矩形 (用 B 表示) 和 $\times 4$ 的矩形 (用 $\mathrm{C}$ 表示) 可以拼出如下 4 边形。

在这里插入图片描述

例如用 $\times 2$ 的矩形 (用 $A$ 表示)、 $\times 1$ 的矩形 (用 B 表示) 和 $\times 1$ 的矩形 (用 $\mathrm{C}$ 表示) 可以拼出如下 6 边形。

在这里插入图片描述

【输入格式】

输入包含多组数据。

第一行包含一个整数 $T$ , 代表数据组数。

以下 $T$ 行, 每行包含 6 个整数 $a_{1}, b_{1}, a_{2}, b_{2}, a_{3}, b_{3}$ , 其中 $a_{1}, b_{1}$ 是第一个矩形的边长, $a_{2}, b_{2}$ 是第二个矩形的边长, $a_{3}, b_{3}$ 是第三个矩形的边长。

【输出格式】

对于每组数据, 输出一个整数代表答案。

【样例输入】

$\begin{array}{llllll}2\end{array}$

$\begin{array}{llllll}2 & 3 & 4 & 1 & 2 & 4\end{array}$

$\begin{array}{lllllll}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\end{array}$

【样例输出】

$\begin{array}{llllll} 4\end{array}$

$\begin{array}{llllll}6\end{array}$

【评测用例规模与约定】

对于 $\%$ 的评测用例, $\leq T \leq 5,1 \leq a_{1}, b_{1}, a_{2}, b_{2}, a_{3}, b_{3} \leq 10, a_{1}=a_{2}=$ $a_{3}$ 。

对于 $\%$ 的评测用例, $\leq T \leq 5,1 \leq a_{1}, b_{1}, a_{2}, b_{2}, a_{3}, b_{3} \leq 10$ 。

对于 $\%$ 的评测用例, $\leq T \leq 10,1 \leq a_{1}, b_{1}, a_{2}, b_{2}, a_{3}, b_{3} \leq 20$ 。

对于所有评测用例, $\leq T \leq 1000,1 \leq a_{1}, b_{1}, a_{2}, b_{2}, a_{3}, b_{3} \leq 100$ 。

试题 F: 选数异或

时间限制: $\mathrm{~s}$ 内存限制: $\mathrm{MB}$ 本题总分: 15 分

【问题描述】

给定一个长度为 $n$ 的数列 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}$ 和一个非负整数 $x$ , 给定 $m$ 次查询, 每次询问能否从某个区间 $[l, r]$ 中选择两个数使得他们的异或等于 $x$ 。

【输入格式】

输入的第一行包含三个整数 $n, m, x$ 。

第二行包含 $n$ 个整数 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}$ 。

接下来 $m$ 行, 每行包含两个整数 $l_{i}, r_{i}$ 表示询问区间 $\left[l_{i}, r_{i}\right]$ 。

【输出格式】

对于每个询问, 如果该区间内存在两个数的异或为 $x$ 则输出 yes, 否则输出 no.

【样例输入】

$\begin{array}{lll}4 & 4 & 1\end{array}$

$\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4\end{array}$

$\begin{array}{llll}1 & 4\end{array}$

$\begin{array}{llll}1 & 2\end{array}$

$\begin{array}{llll}2 &3\end{array}$

$\begin{array}{llll}3 & 3\end{array}$

【样例输出】

$\begin{array}{llll}yes\end{array}$

$\begin{array}{llll}no\end{array}$

$\begin{array}{llll}yes\end{array}$

$\begin{array}{llll}no\end{array}$

【样例说明】

显然整个数列中只有 2,3 的异或为 1 。

【评测用例规模与约定】

对于 $\%$ 的评测用例, $\leq n, m \leq 100$ ;

对于 $\%$ 的评测用例, $\leq n, m \leq 1000$ ，

对于所有评测用例, $\leq n, m \leq 100000,0 \leq x<2^{20}, 1 \leq l_{i} \leq r_{i} \leq n$ ,

$\leq A_{i}<2^{20}$ 。

试题 G: GCD

时间限制: $\mathrm{~s}$ 内存限制: $\mathrm{MB}$ 本题总分: 20 分

【问题描述】

给定两个不同的正整数 $a, b$ , 求一个正整数 $k$ 使得 $\operatorname{gcd}(a+k, b+k)$ 尽可能大, 其中 $\operatorname{gcd}(a, b)$ 表示 $a$ 和 $b$ 的最大公约数, 如果存在多个 $k$ , 请输出所有满足条件的 $k$ 中最小的那个。

【输入格式】

输入一行包含两个正整数 $a, b$ , 用一个空格分隔。

【输出格式】

输出一行包含一个正整数 $k$ 。

【样例输入】

$\begin{array}{llll}5&7\end{array}$

【样例输出】

$\begin{array}{llll}1\end{array}$

【评测用例规模与约定】

对于 $\%$ 的评测用例, $\leq 10^{5}$ ；

对于 $\%$ 的评测用例, $\leq 10^{9}$ ;

对于所有评测用例, $\leq a<b \leq 10^{18}$ 。

试题 H: 青蛙过河

时间限制: $\mathrm{~s}$ 内存限制: $\mathrm{MB}$ 本题总分: 20 分

【问题描述】

小青蛙住在一条河边, 它想到河对岸的学校去学习。小青蛙打算经过河里的石头跳到对岸。

河里的石头排成了一条直线，小青蛙每次跳跃必须落在一块石头或者岸上。不过, 每块石头有一个高度, 每次小青蛙从一块石头起跳, 这块石头的高度就会下降 1 , 当石头的高度下降到 0 时小青蛙不能再跳到这块石头上（某次跳跃后使石头高度下降到 0 是允许的）。

小青蛙一共需要去学校上 $x$ 天课, 所以它需要往返 $2 x$ 次。当小青蛙具有一个跳跃能力 $y$ 时, 它能跳不超过 $y$ 的距离。

请问小青蛙的跳跃能力至少是多少才能用这些石头上完 $x$ 次课。

【输入格式】

输入的第一行包含两个整数 $n, x$ , 分别表示河的宽度和小青蛙需要去学校的天数。请注意 $2 x$ 才是实际过河的次数。

第二行包含 $n - 1$ 个非负整数 $H_{1}, H_{2}, \cdots, H_{n-1}$ , 其中 $H_{i}>0$ 表示在河中与小青蛙的家相距 $i$ 的地方有一块高度为 $H_{i}$ 的石头, $H_{i}=0$ 表示这个位置没有石头。

【输出格式】

输出一行, 包含一个整数, 表示小青蛙需要的最低跳跃能力。

【样例输入】

$\begin{array}{llll}5&1\end{array}$

$\begin{array}{llll}1&0&1&0\end{array}$

【样例输出】

$\begin{array}{llll}4\end{array}$

【样例解释】

由于只有两块高度为 1 的石头, 所以往返只能各用一块。第 1 块石头和对岸的距离为 4 , 如果小青蛙的跳跃能力为 3 则无法满足要求。所以小青蛙最少需要 4 的跳跃能力。

【评测用例规模与约定】

对于 $\%$ 的评测用例, $\leq 100$ ;

对于 $\%$ 的评测用例, $\leq 1000$ ;

对于所有评测用例, $\leq n \leq 10^{5}, 1 \leq x \leq 10^{9}, 1 \leq H_{i} \leq 10^{4}$ 。

试题 I: 因数平方和

时间限制: $\mathrm{~s}$ 内存限制: $\mathrm{MB}$ 本题总分: 25 分

【问题描述】

记 $f (x)$ 为 $x$ 的所有因数的平方的和。例如: $f(12)=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+6^{2}+$ $12^{2}$ 。

定义 $g(n)=\sum_{i=1}^{n} f(i)$ 。给定 $n$ , 求 $g (n)$ 除以 $10^{9}+7$ 的余数。

【输入格式】

输入一行包含一个正整数 $n$ 。

【输出格式】

输出一个整数表示答案 $g (n)$ 除以 $10^{9}+7$ 的余数。

【样例输入】

$\begin{array}{llll}100000\end{array}$

【样例输出】

$\begin{array}{llll}680584257\end{array}$

【评测用例规模与约定】

对于 $\%$ 的评测用例, $\leq 10^{5}$ 。

对于 $\%$ 的评测用例, $\leq 10^{7}$ 。

对于所有评测用例, $\leq n \leq 10^{9}$ 。

试题 $\mathrm{J}$ : 最长不下降子序列

时间限制: $\mathrm{~s}$ 内存限制: $\mathrm{MB}$ 本题总分: 25 分

【问题描述】

给定一个长度为 $N$ 的整数序列: $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{N}$ 。现在你有一次机会, 将其中连续的 $K$ 个数修改成任意一个相同值。请你计算如何修改可以使修改后的数列的最长不下降子序列最长, 请输出这个最长的长度。

最长不下降子序列是指序列中的一个子序列, 子序列中的每个数不小于在它之前的数。

【输入格式】

输入第一行包含两个整数 $N$ 和 $K$ 。

第二行包含 $N$ 个整数 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{N}$ 。

【输出格式】

输出一行包含一个整数表示答案。

【样例输入】

$\begin{array}{lllll}5 &1\end{array}$

$\begin{array}{lllll}1 & 4 & 2 & 8 & 5\end{array}$

【样例输出】

$\begin{array}{lllll}4\end{array}$

对于 $\%$ 的评测用例， $\leq K \leq N \leq 10000$ ；

对于所有评测用例, $\leq K \leq N \leq 10^{5}, 1 \leq A_{i} \leq 10^{6}$ 。