数据结构(五)——树的基本概念

五、树

5.1 树的基本概念

5.1.1 树的定义

树是n(n>=0)个结点的有限集合结点数为0的树称为空树

非空树的特性

  • 有且仅有一个根节点
  • 没有后继的结点称为“叶子结点”(或终端结点)
  • 有后继的结点称为“分支结点”(或非终端结点)
  • 除了根节点外,任何一个结点都有且仅有一个前驱
  • 每个结点可以有0个或多个后继。

5.1.2 树的基本术语

树的属性

  • 结点的层次(深度)——从上往下数 (默认从1开始)
  • 结点的高度——从下往上数
  • 树的高度(深度)——总共多少层
  • 结点的度——有几个孩子(分支)★
  • 树的度——各结点的度的最大值   ★

有序树——逻辑上看,树中结点的各子树从左至右是有次序的,不能互换
无序树——逻辑上看,树中结点的各子树从左至右是无次序的,可以互换

森林。森林是m(m≥0)棵互不相交的树的集合。m为0时是“空森林”

5.1.3 树的常考性质 

常见考点1:结点数=总度数+1
结点的度—结点有几个孩子(分支)

常见考点2:度为m的树、m叉树 的区别

        树的度——各结点的度的最大值                      m叉树——每个结点最多只能有m个孩子的树

度为m的树m叉树
任意结点的度 ≤ m(最多m个孩子)任意结点的度 ≤ m(最多m个孩子)
至少有一个结点度 = m(有m个孩子)允许所有结点的度都 < m
一定是非空树,至少有m+1个结点可以是空树

常见考点3:度为m的树第 i 层至多有 m^{i-1} 个结点(i≥1)
                    m叉树第 i 层至多有 m^{i-1}  个结点(i≥1) 

常见考点4:高度为h的m叉树至多有 \frac{m^h-1 }{m-1}个结点。
等比数列求和公式:a+aq+aq^{2}+...+aq^{n-1}=\frac{a(1-q^{n}) }{1-q}

常见考点5:高度为h的m叉树至少有 h 个结点。
                    高度为h、度为m的树至少有 h+m-1 个结点

常见考点6:具有n个结点的m叉树的最小高度为[log_{m}(n(m - 1) + 1)]
高度最小的情况——所有结点都有m个孩子

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