近世代数 笔记和题型连载 第七章(阿贝尔群和循环群)

文章目录

    • 基础概念
      • 1.阿贝尔群
      • 2.循环群
      • 3.有限循环群
      • 4.元素的阶
      • 5.无限循环群
    • 相关题型
      • 1.判断一个代数系统的代数结构
      • 2.判定一个群是否是循环群
      • 3.判定一个群是否是循环群
      • 4.循环群的生成元有关问题
      • 5.判定元素的阶
      • 6.判定元素的阶
      • 7.判定元素的阶
      • 8.求给定循环群的所有子群
      • 9.求给定循环群的所有子群
      • 10.生成元的个数计算
      • 11.求一个循环群的所有生成元
      • 12.求一个循环群的所有生成元
      • 13.较难的证明题

基础概念

1.阿贝尔群

阿贝尔群的定义:如果群<G,※>中的运算是可交换的,那么就称这个群为阿贝尔群,也被称为交换群。

阿贝尔群的性质(判定):设<G,※>是一个群,那么<G,※>是阿贝尔群的充要条件是对于G中的任意两个元素a和b,都有(a※b)※(a※b)=(a※a)※(b※b)。

2.循环群

循环群的定义:若<G,※>为群,如果G中存在一个元素a,使得G中的任意元素都是a的幂,那么称该群为循环群,而元素a被称为该循环群的生成元。

生成元的唯一性:一个循环群中的生成元可以不唯一。

循环群的与阿贝尔群的关系:循环群一定是阿贝尔群。

循环群的性质

  • 循环群的子群也是循环群。
  • 如果一个循环群的阶数是无限阶,那么它的子群中除了{e}之外的也都是无限阶的。
  • 如果一个循环群是n阶的,那么该循环群的子群的阶数是n的因子,且对于每一个正因子,有且只有一个该因子阶的子群。如果该循环群的生成元是a且阶数为n,子循环群的阶数是d,那么子循环群中的生成元是a的n/d次幂。

生成元的性质

  • 个数性质:对于一个循环群<G,※>,如果群的阶数有限且为n,那么G中一共有f(n)个生成元。其中f(n)表示对n使用欧拉函数,得到的结果是小于n且与n互素的正整数个数。
  • 值性质:循环群中的每一个生成元都可以表示为最小生成元的幂的形式。如果一个循环群的阶数为n,那么每一个生成元都可以表示为最小生成元的x次幂,其中x是小于n且与n互素的正整数。

3.有限循环群

有限循环群的阶数:有限循环群是指由一个元素a生成的循环群,如果生成元a的n次幂等于幺元,那么就称该循环群是n阶的。

4.元素的阶

元素的阶的定义:假设a是G中的一个元素,如果存在一个正整数K,使得ak=e,使得这个等式成立的最小正整数称为元素a的阶或元素a的周期,并称a是有限阶的元素。

有限循环群的阶和元素的阶:有限循环群的生成元的阶数就是群的阶数,也是该有限循环群中元素的个数。

元素的阶的性质

  • 倍数性质:一个元素的K次幂等于幺元,那么K一定是这个元素的阶的倍数。
  • 逆元同阶:一个元素的阶与其逆元的阶相等。
  • 元素的阶小于群的阶:一个元素的阶一定小于其所在的群的阶数。

5.无限循环群

无限循环群定义:如果一个生成元的阶数无限大,那么其所在的群被称为无限循环群,且该群中只存在该元素及其逆元两个生成元。

相关题型

1.判断一个代数系统的代数结构

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解析:本题考查判断一个代数系统的代数结构。到目前为止,我们所学习的代数结构按照从前往后逐级包含的关系分别是:广群(只要运算封闭)、半群(运算可结合)、独异点(含有幺元)、群(每个元素有逆元)和这一章的阿贝尔群(运算可交换)。因此逐级判断即可。
首先作出运算表如下所示
在这里插入图片描述
根据运算表可以判断,该运算满足封闭性、可结合性,存在幺元1,每个元素都有逆元,并且运算是可交换的,因此该代数系统是一个阿贝尔群。

2.判定一个群是否是循环群

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解析:本题考查循环群的判定。只需要判断群中是否存在生成元即可。
对于元素1,其任何次数的幂都是1,因此1不是生成元;按照这种方式进行推理,可以判定群中的各个元素都不是生成元,因此最终可以得出结论:这个群不是循环群。

3.判定一个群是否是循环群

在这里插入图片描述

解析:本题考查循环群的判定。
首先根据运算表对称可知该运算满足可交换性,也所以首先该群是一个阿贝尔群,接下来只需要判定是否存在生成元即可。
容易证明[1]和[3]都是该群的生成元,由此可以得出结论,该群是循环群。

4.循环群的生成元有关问题

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解析:本题考察将循环群中的各个元素表示成生成元的幂的形式。直接根据计算结果填写即可,本题的答案如下所示:
在这里插入图片描述
需要注意的是并没有0次幂的元素,都是用正数作为元素的幂。

5.判定元素的阶

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解析:本题考查元素的阶的判断。
对于模12乘法,5的1次幂为5,2次幂为1,而又可以判定1是该群的幺元,由此可以得知5的阶数就是2。

6.判定元素的阶

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解析:本题考查元素的阶和三阶群。
三阶群中除了幺元之外,其他两个元素的二次幂都是另一个元素,因此b²为c,c的阶为1。c的1次幂为c,c的2次幂为b,c的3次幂为a,因此c的阶数为3。

7.判定元素的阶

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解析:本题考查元素的阶的计算,只需要逐一计算元素的阶即可,具体过程略,答案如下所示:
在这里插入图片描述

8.求给定循环群的所有子群

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解析:本题考查求循环群的所有子群。
根据群的特点可知,该模18加法群是一个循环群,且生成元为[1],群的阶数为18。那么根据循环群的性质,该群存在阶数为1,2,3,6,9和18的子群,生成元分别是[0],[9],[6],[3],[2]和[1],根据生成元可以得出该循环群的六个子群。

9.求给定循环群的所有子群

在这里插入图片描述

解析:本题考查求循环群的所有子群。
根据群的特点可知,该群为循环群,且生成元为60°,群的阶数为6,因此存在阶数为1、2、3、6的子群。这四个子群的生成元分别是[0],[180],[120],[60],根据生成元即可确定各个子群中的所有元素。

10.生成元的个数计算

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解析:本题考查生成元的个数性质。
根据生成元的个数性质,该群的阶数为18,因此共存在最小生成元的1、5、7、11、13、17次幂共六个生成元。

11.求一个循环群的所有生成元

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解析:本题考查生成元的个数性质。
与12互素且比12小的正整数包括1、5、7、11共四个,同时,该循环群的最小生成元为[1],因此该循环群的生成元为[1]的1、5、7、11次幂,分别为[1]、[5]、[7]、[11],所以选择BDF。

12.求一个循环群的所有生成元

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解析:本题的过程与上一题类似,因此可以判断该群的生成元包括a的一次幂、a的三次幂、a的7次幂和a的九次幂,所以选择ABDE。

13.较难的证明题

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解析:根据前面所学的知识,一个群中任意元素及其逆元的阶数是相同的。如果阶大于2的个数为奇数,则说明至少有一个阶数大于2的元素不存在同等阶数的逆元,与假设矛盾,由此可以证明上述命题成立。

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