公司聚会计划：最优宾客名单的算法设计与分析

问题描述
算法设计
C代码实现
时间复杂度分析
空间复杂度分析
结论

在组织公司聚会时，一个重要的考虑因素是如何确保聚会的愉快氛围。在本问题中，公司主席希望在聚会上避免员工及其直接主管同时出席，以减少潜在的尴尬和不和谐。为了实现这一目标，我们需要设计一个算法，该算法能够在给定公司员工的层次结构和每个员工的宴会交际能力评分的情况下，找出能使聚会交际评分之和最大的宾客名单。
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问题描述

公司员工的层次结构可以用一棵树来表示，其中每个节点代表一个员工，根节点是公司主席。
每个员工有一个与之关联的“宴会交际能力”评分，该评分是实数值。
目标是选择一组员工作为宾客，使得在不包含任何员工及其直接主管的情况下，宾客的交际能力评分之和最大。

算法设计

我们可以使用递归的方法来设计这个算法。基本思路是，对于树中的每个节点（员工），我们需要做出一个选择：要么选择这个员工作为宾客，要么不选择。选择员工作为宾客时，我们需要从其子节点（下属）中排除其直接主管（如果有的话）。然后，我们递归地对每个子节点应用相同的逻辑。

// 伪代码：求最大交际能力评分之和的宾客名单
FUNCTION MaximizeSocialScore(tree: Tree):
    // 初始化最大评分和宾客名单
    maxScore := 0
    guests := []

    // 递归函数，计算以当前节点为根的子树的最大评分
    FUNCTION RecursiveMaximize(node: Node):
        IF node IS LEAF THEN
            RETURN node.socialScore
        ENDIF

        // 初始化当前子树的最大评分和宾客名单
        currentMaxScore := 0
        currentGuests := []

        // 遍历子节点
        FOR EACH child IN node.children DO
            // 计算不选择当前子节点时的最大评分
            excludedScore := RecursiveMaximize(child)
            IF excludedScore > currentMaxScore THEN
                currentMaxScore := excludedScore
                currentGuests := [child.name]  // 只包含被排除的子节点
            ENDIF
        ENDFOR

        // 计算选择当前节点时的最大评分
        includedScore := node.socialScore
        FOR EACH child IN node.children EXCEPT node.immediateSubordinate DO
            includedScore += RecursiveMaximize(child)
        ENDFOR

        // 更新最大评分和宾客名单
        IF includedScore + currentMaxScore > maxScore THEN
            maxScore := includedScore + currentMaxScore
            guests := [node.name] + currentGuests
        ENDIF

        RETURN maxScore
    ENDFUNCTION

    // 从根节点开始递归计算
    return RecursiveMaximize(tree.root)
ENDFUNCTION

C代码实现

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

// 定义树节点结构
typedef struct TreeNode {
    char *name;
    float socialScore;
    struct TreeNode *children;
    int childCount;
    struct TreeNode *immediateSubordinate; // 直接下属
} TreeNode;

// 函数声明
float MaximizeSocialScore(TreeNode *tree, char *guests[]);

// 递归计算最大评分
float RecursiveMaximize(TreeNode *node, float maxScore, char *guests[], int index);

int main() {
    // 假设我们已经有了树的结构和相关数据
    TreeNode *tree;
    // ... 初始化树结构 ...

    // 计算最大评分和宾客名单
    float maxScore = MaximizeSocialScore(tree, NULL);
    char *guests[maxScore]; // 假设宾客名单的最大长度为 maxScore
    int guestCount = MaximizeSocialScore(tree, guests);

    // 输出结果
    printf("Maximum social score: %f\n", maxScore);
    printf("Guests: ");
    for (int i = 0; i < guestCount; i++) {
        printf("%s ", guests[i]);
    }
    printf("\n");

    return 0;
}

// 实现函数
float RecursiveMaximize(TreeNode *node, float maxScore, char *guests[], int index) {
    if (node == NULL) {
        return 0;
    }

    // 计算不选择当前节点时的最大评分
    float excludedScore = 0;
    for (int i = 0; i < node->childCount; i++) {
        excludedScore += RecursiveMaximize(node->children[i], maxScore, guests, index);
    }

    // 计算选择当前节点时的最大评分
    float includedScore = node->socialScore;
    for (int i = 0; i < node->childCount; i++) {
        if (node->children[i] != node->immediateSubordinate) {
            includedScore += RecursiveMaximize(node->children[i], maxScore, guests, index + 1);
        }
    }

    // 更新最大评分和宾客名单
    if (includedScore + excludedScore > maxScore) {
        maxScore = includedScore + excludedScore;
        guests[index] = node->name;
    }

    return maxScore;
}

float MaximizeSocialScore(TreeNode *tree, char *guests[]) {
    return RecursiveMaximize(tree->root, 0, guests, 0);
}

时间复杂度分析

该算法的时间复杂度是 O(n)，其中 n 是树中节点的数量。这是因为我们需要遍历树中的每个节点来计算最大评分。对于每个节点，我们需要进行常数时间的操作来更新最大评分和宾客名单。因此，算法的总时间复杂度是线性的。

空间复杂度分析

算法的空间复杂度主要由递归调用栈的深度决定，最坏情况下，如果树是完全二叉树，递归调用栈的深度为 O(log n)。但是，由于我们需要存储宾客名单，这可能会增加额外的空间复杂度。在最坏情况下，如果我们选择树中的每个节点作为宾客，宾客名单的长度将等于树中节点的数量，即 O(n)。因此，算法的总空间复杂度也是 O(n)。