前言：这个专栏主要讲述动态规划算法，所以下面题目主要也是这些算法做的  

我讲述题目会把讲解部分分为3个部分：
1、题目解析

2、算法原理思路讲解

3、代码实现

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零钱兑换

题目链接：零钱兑换
题目

给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。

计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

示例 1：

输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3 
解释：11 = 5 + 5 + 1

示例 2：

输入：coins = [2], amount = 3
输出：-1

示例 3：

输入：coins = [1], amount = 0
输出：0

提示：

• 1 <= coins.length <= 12
• 1 <= coins[i] <= 231 - 1
• 0 <= amount <= 104

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解法

算法原理与解析

我们这题使用动态规划，我们做这类题目可以分为以下五个步骤

1. 状态显示
2. 状态转移方程
3. 初始化（防止填表时不越界）
4. 填表顺序
5. 返回值

• 状态显示

dp[i][j] ：表示 从前 i 个硬币中挑选，总和正好等于 j ，所有的选法中，最少的硬币个数。

• 状态转移方程

dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - coins[i]] + 1)

• 初始化（防止填表时不越界）

初始化第⼀行即可。

这里因为取 min ，所以我们可以把无效的地方设置成无穷大  (0x3f3f3f3f) 因为这里要求正好凑成总和为 j ，因此，需要把第⼀行除了第⼀个位置的元素，都设置成无穷大。

• 填表顺序

根据「状态转移方程」，我们仅需「从上往下」填表即可。

• 返回值

根据「状态表示」，返回 dp[n][amount] 。但是要特判⼀下，因为有可能凑不到。

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代码实现 

int coinChange(vector<int>& coins, int amount) 
{
	int n = coins.size();
	vector<vector<int> > dp(n+1, vector<int>(amount + 1)); // 建表
	// 初始化
	for (int j = 1; j <= amount; j++)
		dp[0][j] = INT_MAX;

	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = 0; j <= amount; j++)
		{
			dp[i][j] = dp[i - 1][j];
			if (j >= coins[i - 1])
				dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - coins[i - 1]]) + 1;
		}
	return dp[n][amount] >= INT_MAX ? -1 : dp[n][amount];
}

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代码优化

class Solution {
public:
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) 
    {
        const int INF = 0x3f3f3f3f;
        int n = coins.size();
        vector<int> dp(amount + 1, INF); // 建表
        // 初始化
        dp[0] = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            for (int j = coins[i - 1]; j <= amount; j++)
                dp[j] = min(dp[j], dp[j - coins[i - 1] ] + 1);
        return dp[amount] >= INF ? -1 : dp[amount];
    }
};