一、动态规划
动态规划算法通常用于解决最优化问题（寻求最优解）。其思想与分治法类似，将待求解的问题分成若干个子问题，先求出子问题，再根据子问题的解求出原来问题中的解，与分支法不同的是，在动态规划中，这些子问题的解是不相互独立的。
采用动态规划求解的问题通常有以下性质：
1.最优化原理：问题的最优解中包含的子问题的解也是最优的。
2.无后效性：即某阶段状态一旦确定，就不受该状态以后决策的影响，只与当前状态有关。
3.有重叠子问题：子问题之间是不相互独立的，一个子问题在下一阶段的决策中可能被多次用到。（通常减少不必要的重复操作）
二、钢条切割问题
给定一段长度为 n 的钢条和一个价格表 pi ，求钢条切割方案使得销售收益 rn 最大。
| 长度I | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 价格pi | 1 | 5 | 8 | 9 | 10 | 17 | 17 | 20 | 24 | 30 |
案例：长度为 4 的钢条，如何切割使得销售额最高？
考虑两种情况：1.切割成4个长度为1的钢条，总收益是4；
2.切割成2个长度为2的钢条，总收益是10。
3.切割成1个长度为1和一个长度为3的钢条，总收益是9
4.切割成1个长度为4的钢条，总收益为9
法一（易理解）
对于求收益r[n]最大的切割方案（最优解）
1.不切割，收益为 pn
2.先将该钢条分为切为两根，则当该两根钢条的收益之和最大时（取最优解时），对应长度为n的钢条收益也最大，最优解的和就是当前情况的最优解，可以得出：
法二 （简单）
对于该求解方法可以改为一种相似但更简单的递归求解方法：
将钢条从左边切割下长度为 i 的一段，只对右边剩下的长度为 n-i 的一段继续进行切割（递归求解），对左边的一段不再进行切割。
关于此想法的理解：
将长度为n的钢条分解为左边开始一段，以及剩余部分继续分解的结果（通过递归）
或者理解为：对于一根长度为n钢条，总存在某种切割，会使得切出长度为 i 的钢条
此时公式为：
递归函数的伪代码为：
int get_best(int n)
{
if(n<=0) return 0;
int maxn=-1;
for(int i=1;i<=n;i++)
maxn=max(p[i]+get_best(n-i),maxn); // 通过递归求出最大
//r[n]=maxn;
return maxn;
}根据代码不难发现，在递归函数get_best中，会存在同一个变量反复递归的情况，从而引起时间的浪费，此时时间复杂度达到 O(2^n)
需要通过剪枝的方法避免重复的操作（自顶向下法）
int get_best(int n)
{
if(n<=0) return 0;
if(r[n]>0) return r[n]; // 若已经访问过，即找到r[n]的最优解时，直接返回
int maxn=-1;
for(int i=1;i<=n;i++)
maxn=max(p[i]+get_best(n-i),maxn);
r[n]=maxn;
return maxn;
}此外，还可以通过自底向上的方法求出最优解，此时为递推操作，不需要递归
int get_best2(int n)
{
for(int i=1;i<=n;i++)
{
r[i]=p[i]; // 直接将 长度为 i的切割下
for(int j=1;j<i;j++)
r[i]=max(r[i],p[j]+r[i-j]); //免去递归操作
}
} 重构解
将最优解的切割方案求出
int get_best2(int n)
{
for(int i=1;i<=n;i++)
{
r[i]=p[i]; // 直接将 长度为 i的切割下
s[i]=i;
for(int j=1;j<i;j++)
if(r[i]<p[j]+r[i-j]) //免去递归操作
{
r[i]=p[j]+r[i-j];
s[i]=j; // 表示当长度为i时，将切割长度为j的钢条 ,剩余 i-j 已经求出最优解和切割方案了
}
}
int x=n;
while(x>0)
{
printf("%d ",s[x]);
x-=s[x];
}
}此过程只需在求解规模为 i 的子问题时将，第一段钢条的最优切割长度j保存在 s [ i ] 中
