第 8 周 13、 聚类(Clustering)

13.3 优化目标

K-均值最小化问题，是要最小化所有的数据点与其所关联的聚类中心点之间的距离之和，因此 K-均值的代价函数（又称畸变函数 Distortion function）为：
$$J(c^{(1)},...,c^{(m)},u_1,...,u_k)=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m||X^{(i)}-u_c^{(i)}|{|}^2$$

其中$u_c^{(i)}$代表与$x^{(i)}$最近的聚类中心点。 我们的的优化目标便是找出使得代价函数最小的 $c^{(1)},c^{(2)},...,c^{(m)}$和$u_1,u_2,...,u_k$：

回顾刚才给出的: K-均值迭代算法，我们知道，第一个循环是用于减小$c^{(i)}$引起的代价，而第二个循环则是用于减小$u_i$引起的代价。迭代的过程一定会是每一次迭代都在减小代价函数，不然便是出现了错误。

13.4 随机初始化

在运行 K-均值算法的之前，我们首先要随机初始化所有的聚类中心点，下面介绍怎样做：

1. 我们应该选择𝐾 < 𝑚，即聚类中心点的个数要小于所有训练集实例的数量
2. 随机选择𝐾个训练实例，然后令𝐾个聚类中心分别与这𝐾个训练实例相等

K-均值的一个问题在于，它有可能会停留在一个局部最小值处，而这取决于初始化的情况。

为了解决这个问题，我们通常需要多次运行 K-均值算法，每一次都重新进行随机初始化，最后再比较多次运行 K-均值的结果，选择代价函数最小的结果。这种方法在𝐾较小的时候（2–10）还是可行的，但是如果𝐾较大，这么做也可能不会有明显地改善。