【NC16810】拦截导弹

题目

拦截导弹

贪心、二分

思路

这是一道求最长XX子序列的经典问题，其中XX表示【上升、下降、不上升、不下降】。
题目有两个问题，第一个问题很直接，就是求最长不上升子序列长度，但是第二个问题需要思考，要用到数学定理，不过为了简化问题，这里直接给出结论：第二问就是问最长上升子序列长度。

可以知道的是，求这类最长XX子序列的方法应该是相通的，可以互相转化。所以这里只记录求最长上升子序列长度的方法。

求最长上升子序列长度的方法有很多，动态规划理论上可行，但是时间复杂度为 $O(n^2)$ ，在此题的 $100000$ 的数据范围内显然不可行。然后有更优的解法：贪心+二分。这种方法的时间复杂度为 $O (n l o g n)$ ，可以解决此题，本文记录的也是这种方法。

如何贪心+二分呢？这里直接给出算法。

记原数组为 $a$ ，设置一个辅助数组 $b$ ，初始化为正无穷
从左往右遍历数组 $a$ ，并对每一个元素 $a [i]$ ，使用二分法找出数组 $b$ 中第一个大于等于 $a [i]$ 的下标 $t$ ，并使 $b [t] = a [i]$
最后数组 $b$ 中不是正无穷的元素个数即为数组 $a$ 的最长上升子序列的长度。

其余的最长XX子序列问题也可以触类旁通，这里不再赘述。

代码

#include <limits.h>
#include <stdio.h>
#define N 100005

void init(int* arr, int n) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        arr[i] = INT_MAX;
    }
}

// 返回数组中第一个大于目标值的下标，没有则返回数组长度
int first_GT(int* arr, int n, int target) {
    int l = 0, r = n - 1, mid = 0;
    while (l <= r) {
        mid = ((r - l) >> 1) + l;
        if (arr[mid] > target) {
            if (!mid || arr[mid - 1] <= target) {
                return mid;
            } else {
                r = mid - 1;
            }
        } else {
            l = mid + 1;
        }
    }
    return n;
}

// 返回数组中第一个大于等于目标值的下标，没有则返回数组长度
int first_GE(int* arr, int n, int target) {
    int l = 0, r = n - 1, mid = 0;
    while (l <= r) {
        mid = ((r - l) >> 1) + l;
        if (arr[mid] >= target) {
            if (!mid || arr[mid - 1] < target) {
                return mid;
            } else {
                r = mid - 1;
            }
        } else {
            l = mid + 1;
        }
    }
    return n;
}

int main(void) {
    // 读入数据
    int a[N], n = 0;
    while (~scanf("%d", &a[n])) {
        n++;
    }
    // 建立辅助数组，全部置为最大值
    int b[N], i = 0, t = 0, len = 0;
    init(b, N);
    // 第一问是求最长不上升子序列长度，也就是倒过来的最长不下降子序列长度
    // 从右往左找最长不下降子序列
    for (i = n - 1; i >= 0; i--) {
        // 寻找b中第一个大于a[i]的下标
        t = first_GT(b, N, a[i]);
        if (t > len) len = t;
        // 将这个值替换为a[i]
        b[t] = a[i];
    }
    // 最后输出辅助数组中被更新的值的长度
    // 即为题目所求的能拦截导弹的数量
    printf("%d\n", len + 1);

    // 第二问求的是最长上升子序列长度
    // 首先将辅助数组重置
    init(b, N);
    len = 0;
    // 然后从左往右找最长上升子序列
    for (i = 0; i < n; i++) {
        // 寻找b中第一个大于等于a[i]的下标
        t = first_GE(b, N, a[i]);
        if (t > len) len = t;
        // 将这个值替换为a[i]
        b[t] = a[i];
    }
    // 最后输出辅助数组中被更新的值的长度
    // 即为题目所求的需要的最少导弹系统数量
    printf("%d\n", len + 1);
    return 0;
}