1. 数学

1.1. 灵光乍现，从来都是厚积薄发

1.1.1. 亨利·庞加莱（Henri Poincaré）

1.2. 数学的起源可以追溯到人类试图理解自己所生活的环境，预测接下来会发生什么，从而使我们更加适应环境，并选择对我们有利的事物

1.2.1. 数学是人类的一种生存行为

1.3. 数学有关直觉

1.3.1. 数学不仅仅是计算的事

1.3.2. 美学的敏感性和思想的逻辑正确性一样重要

1.3.3. 能感觉到该以怎样的逻辑去探索未知

1.3.4. 当DeepMind的算法发现怎样以非常相似的方式去做某些事的时候，它引发了一场“生存危机”

1.4. 《一个数学家的辩白》

1.4.1. 剑桥数学家哈代（G.H.Hardy）

1.4.2. 数学家就像画家或诗人一样，都是形式的缔造者

1.4.3. 如果说数学的形式比其他的更持久，那是因为数学的形式是由思想构成的

1.4.4. 数学家的算式就像画家的画或诗人的诗，必须是美的

1.4.5. 思想就如同色彩或是文字，必须以和谐的方式结合在一起

1.4.6. 美是首要的，因为在数学的世界里，没有丑陋数学的容身之所

1.5. 在创造新的事物方面，创造力发挥着不可替代的作用

1.5.1. 自上而下的编程模式，将驱使计算机发现新的数学定理

1.5.2. 竞赛中，理解规则是很重要的

1.6. 从过往的人类数学经验中学习如何区分令人激动的定理和无聊的定理，而这反过来又可能会引导机器产生一个新的价值定理

2. 数学证明的游戏

2.1. 1995年，报纸上盈千累万的头条都是关于安德鲁·怀尔斯对费马大定理的彻底证明

2.2. 2006年，特立独行的俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼（Grigori Perelman）证明了数学中一个重要的未解决的问题——庞加莱猜想（Poincaréconjecture）

2.3. 数学家工作的核心是证明

2.3.1. 公理是关于数字和几何的不言自明的真理，证明就是从公理开始的逻辑论证

2.3.2. 通过分析公理，我们可以重新组合出关于数字和几何确切的新的表达形式

2.3.3. 然后，这些新发现可以构成新证明的基础，而新证明反过来又将引导我们发现公理的更多逻辑结果

2.3.4. 数学的发展就像一个有生命的生物体，从先前存在的形式向外不断延伸开来

2.4. 数学家所面临的挑战是需要证明得到这样的结果是否符合数学本身的逻辑

2.5. 公理是棋盘上棋子的起始位置，逻辑推理规则是决定棋子如何运动的参数，证明是棋子一步一步的运动轨迹

2.5.1. 安德鲁·怀尔斯和其他为证明费马大定理而努力工作的数学家，就这样确定了“棋子”一系列的移动，最后完成了费马大定理指定的排列方式

2.6. 数学界的艺术之一就是找出这些猜想目标

2.6.1. 提出正确的猜想比埋头苦算更重要

2.6.2. 要发现暗藏在数字里的真相，需要对数学有异常灵敏的嗅觉

2.6.2.1. 这往往就是数学家最具创造性和可以发挥高深莫测技能的地方

2.6.2.2. 数学家只有一辈子都沉浸在数学的世界里，才可能获得关于数学猜想的灵敏嗅觉

2.6.2.3. 这通常是一种不需要解释的直觉和预感，是所有人梦寐以求的东西

2.6.2.4. 这就是计算机很难对猜想计算成功的原因之一

2.7. 自上而下的算法像是一个醉汉在黑暗中跌跌撞撞

2.7.1. 它有可能会随机地溜达到一个“有趣的地方”（奇异点）

2.7.2. 大多数时候，它的行动没有重点、没有方向，毫无价值

2.8. 如果算法基于人类数学家的经验进行学习，这种自下而上的结构能否使算法发展出一种对奇异点的直觉呢？

2.8.1. 这种直觉往往稍纵即逝，所以证明出一个猜想是如此的难得和重要

2.8.2. 编写算法来给数学家制造更多的挑战，这会成为我们探索数学领域的新动力吗？

3. 错误猜想

3.1. 19世纪伟大的数学家卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）对质数的猜想

3.2. 高斯认为Li（x）–π（x）的值总是正的，而且是递增的

3.3. 所有的证据都表明高斯是对的

3.3.1. 如果让一台计算机来解决这个问题，它将产生支持高斯猜想的数据

3.4. 1914年李特尔伍德从理论上证明了事实正好相反（即存在Li（x）小于π（x））

3.4.1. 高斯的猜想是错误的，但证明他错误的这个数字大得惊人

3.4.2. 李特尔伍德的学生塞缪尔·斯克维斯（Samuel Skewes）首次证明，如果黎曼猜想成立的话，第一个李特尔伍德反例值一定小于这样一个数，我们称之为斯克维斯数，其表示成简单的科学计数法是：10^100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

3.4.2.1. 比宇宙中原子的数量还多

3.4.2.2. 整个可观测宇宙的原子数不过是10^80

3.5. 我们无法证明它们是真的，还是我们的直觉和现有的数据将我们引入了歧途

3.6. 为了将那些未经证明的猜想与现已证明的定理联系起来，我们痴迷于尝试建立起一系列数学运算

4. 数学的起源

4.1. 数学家本质上是一位规律的探索者和发现者，而数学是发现和解释规律的科学

4.2. 发现规律的能力让人类在与自然世界的谈判中占据了优势，也正是因为它，让我们能够规划未来

4.3. 人类非常善于发现这些规律，因为那些错过规律的物种没有能存活下来

4.3.1. 对规律最原始的识别体现在一些最原始的绘画艺术中

4.4. 大脑的工作方法太先进了，会把图案解读成并不存在的数据，就像许多观众看到里希特《4900种色彩》系列绘画作品时感受到的一样

4.5. 我们的大脑非常享受解决问题找到答案时的快感，这种快感是多巴胺或肾上腺素带给我们的

4.5.1. 计算机不是生物体，它无法产生多巴胺和肾上腺素，所以它也无法体验这种快感

4.6. 解决这样的数学题，需要严密的逻辑思维、对抽象的分析能力等，这些能力有机地结合起来才最终促成了解得答案这样的结果

5. 数字的概念

5.1. 能够精确地计算出数字的意义对许多动物的生存至关重要，其会告诉动物在面对对手时，是该战斗还是逃走

5.1.1. 给这些数字命名并用符号表示是人类特有的能力

5.2. 在我们的十进制系统中，数字的表达对应的是10的不同次方（幂）

5.3. 玛雅人进行着复杂的天文学研究，他们需要大量的数字来记录大量的数据

5.3.1. 玛雅人使用的是二十进制，数字的表达对应的是20的不同次方（幂）

5.3.2. 玛雅人并不是第一个想出用幂来表示数字这个聪明办法的，只不过其他文明使用了十进制或其他进制，而他们使用了二十进制

5.4. 4000年前，古巴比伦人提出了独特的计数体系：他们没有采用玛雅人的二十进制，也没有采用我们现在使用的十进制，而是采用了六十进制，开创了一个新的体系

5.4.1. 60可以被2、3、4、5、6、10、12、15、20、30整除，这种高可除性使它成了这个计数体系的基础，同时有利于进行高速有效的计算

5.4.2. 六十进制的影响之一表现在今时今日我们记录时间的方式上：一小时是60分钟，一分钟是60秒

5.4.3. 在古巴比伦人留下的楔形文字泥板上，我们首次看到了数字与我们周围世界关系的数学分析

5.4.3.1. 启发了一些运用数学的人去思考数学的其他可能性

5.5. 古巴比伦人以代数的方法来思考运用数字，但是他们并没有记录下为什么这种方法或算法总是能给出正确的答案，也就是说他们并没有将成果理论化，只是在运用而已

5.5.1. 古巴比伦人的数学，是对特定的事例进行运算

5.5.2. 他们发现的方法是用来解决某些特定的问题，他们只是发现了这样运算是正确的，但没有去解释为什么这些方法总是有效

5.6. 理论总是出现在实践之后

5.6.1. 直到公元9世纪，巴格达智慧馆的波斯学者才发明了代数语言

5.6.2. 智慧馆的图书馆长和天文台长，数学家、天文学家、“代数之父”花拉子密创立了代数这门学科，尽管最早使用代数的是古巴比伦人

5.7. 数字与数字之间的数学关系被更进一步有效地利用和加强，使得计算的速度得到大幅提升

6. 证明的起源

6.1. 数学证明游戏的起源可以追溯到古希腊人，他们发现运用逻辑论证可以获得关于数字和几何颠扑不破的真理

6.1.1. 未经审视的生活不值得度过。

6.1.1.1. 苏格拉底

6.2. 证明是数学的本质特征，是数学家赌上自己的名誉在寻找的“圣杯”

6.2.1. 证明可以转化为一系列的符号，并为一组符号与另一组符号之间的关系设置一个规则集

6.2.2. 遵循数学游戏的规则，你就可以得到数学的定理

6.3. 欧几里得的《几何原本》成了后世证明的范式，也为证明制定了规则

6.3.1. 欧几里得的巨大历史功绩不仅在于建立了一种几何学，更在于首创了一种科研方法

6.3.2. 这方法所授益于后人的，甚至超过了几何学本身

6.3.3. 欧几里得是第一个将亚里士多德用三段论形式表述的演绎法用于构建实际知识体系的人

6.3.4. 几何学是对空间进行逻辑分析，而不是诉诸直观

6.4. 逻辑推理规则也允许我们根据迄今所知的事实来写下公理和真理

6.5. 命题演算分离规则（modus ponens）是一种推演规则，指在命题演算和谓词演算形式的公理系统中广泛使用的推演规则，此规则的符号表示为A→B，即从A可推演出B

6.5.1. 此规则的逻辑意义是，如果一个蕴含式及其前件均为逻辑真的，则它的后件也是逻辑真的

6.5.2. 分离规则保持了永真性，即如果A和A→B是永真的，则B也是永真的，反之亦然

6.5.3. 此规则的补充规则规定，A→B为真时，若B为假，则A亦为假

6.6. 事实上，如果公理为真，我们赋予任何符号任何意义，都将引发一场“游戏”（推理与证明），推理与证明会帮我们找出答案

6.6.1. 计算机可以在不需要真正了解符号含义的情况下进行推理与证明

6.6.2. 关系由公理来体现

6.6.3. 使得计算机能够按照逻辑推理，即在没有真正了解具体状况的情况下创建数学推理

6.7. 约翰·罗杰斯·希尔勒（John Rogers Searle）设计的思维试验——“中文房间”

6.7.1. 遵循规则不能显示智力和理解力水平

6.8. 证明的冲动很有可能是社会演变的副产品，从权力集中的古埃及、古巴比伦，再到民主的古希腊

6.8.1. 社会的这种变革激发了人们提出巧妙的数学证明形式

6.8.2. 逻辑给了人说服别人的力量，这使用逻辑论证来表达自己说服别人与数学证明同时发端

6.9. 数学家不是计算器，而是证明的构建者

6.9.1. 费马证明了当N为正整数且p为质数并大于N时，N的p次方除以p所得余数是N

6.9.2. 欧拉证明了e^πi+1=0—著名的“欧拉公式”

6.9.3. 高斯证明了每个正整数都可以分解为3个三角数

6.9.4. 安德鲁·怀尔斯证明了费马大定理