【力扣一刷】代码随想录day44（动态规划part6 - 背包问题专题：完全背包理论基础、卡码网52、518. 零钱兑换 II、377. 组合总和 Ⅳ ）

【完全背包理论基础】

与01背包问题的区别：

1、物品的可取次数：完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，01背包问题的每种物品只能取0次或1次，而完全背包问题的每种物品可以取无限次。

2、遍历滚动数组的顺序：01背包问题每件物品最多取一次，前面取了后面就不能取，所以要逆向遍历书包容量。而完全背包问题可以取无限次，因此是正向遍历，即使前面的书包容量放过物品 i 也可以。遍历第 i 个物品，书包容量为 j 时，不取第 i 个物品，则直接返回旧值dp[ j ]，取第 i 个物品时，最大容量为 dp[j - weights[i]] + values[i]，其中dp[j - weights[i]]的意思是留足够的空间给需要取的第 i 个物品，再从 0 ~ i 个（包括第 i 个）物品中取，背包容量为j - weights[i]能装下的最大容量。

【52. 携带研究材料（第七期模拟笔试）】

区别：遍历书包容量的时候，是正向遍历。

import java.util.*;

public class Main{
    public static void main (String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int N = sc.nextInt();
        int V = sc.nextInt();
        int[] weights = new int[N];
        int[] values = new int[N];
        for (int i = 0; i < N; i++){
            weights[i] = sc.nextInt();
            values[i] = sc.nextInt();
        }
        
        int[] dp = new int[V+1];
        for (int i = 0; i < N; i++){
            for (int j = weights[i]; j < V + 1; j++){
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weights[i]] + values[i]);
            }
        }
        System.out.println(dp[V]);
    }
}

时间复杂度：O(N×V)，N是物品的种类数，V是容量的大小
空间复杂度：O(V)

【518. 零钱兑换 II】中等题

难点：

1、属于完全背包问题，需要正序遍历背包容量，从刚好能装第i个物品的背包容量开始遍历，即初始值 j = coins[i]。

2、要求的是恰好把背包装满的方案数，是放与不放的方案数的叠加，即dp[j] += dp[j - coins[i]];。

3、求的是组合数，外层for遍历的是物品，内层for遍历的是背包容量。

class Solution {
    public int change(int amount, int[] coins) {
        int dp[] = new int[amount + 1];
        dp[0] = 1; // 与题意理解不一样，但是设置amount=0，无论coins输入什么，输出都是1
        for (int i = 0; i < coins.length; i++){
            for (int j = coins[i]; j < amount + 1; j++){ // 完全背包：正序遍历
                dp[j] += dp[j - coins[i]]; // 求的是恰好装满背包的方案数，放和不放的叠加
            }
        }
        return dp[amount];
    }
}

时间复杂度：O(M×N)，M是硬币的种类数，N是amount的数值大小
空间复杂度：O(N)

【377. 组合总和 Ⅳ】中等题

技巧：

1、判断：背包问题 or 完全背包问题？

01背包问题 - 逆序遍历背包容量（不可重复取）
完全背包问题 - 正序遍历背包容量（可重复取）

2、判断：组合数 or 排列数？

求组合数 - 外层for循环遍历物品，内层for遍历背包容量。（物品顺序固定）
求排列数 - 外层for遍历背包容量，内层for循环遍历物品。（物品顺序可变）

3、判断：求最大容量 or 方案数？

求最大容量 dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]); （求最大）
求方案数 dp[j] += dp[j-nums[i]]; （求叠加）

分析：

1、数组中的元素可以重复取，无限次数，属于完全背包问题，正序遍历背包容量。

2、顺序不同的序列被视作不同的组合，相当于求的是排列数，外层for循环遍历背包容量。

3、求的是方案数，使用叠加的公式，记得设置初始值 dp[0] = 1，否则后面全是0。

class Solution {
    public int combinationSum4(int[] nums, int target) {
        int[] dp = new int[target + 1];
        dp[0] = 1;
        // 求排列数
        for (int i = 0; i < target + 1; i++){ // 外层for正序遍历书包容量
            for (int j = 0; j < nums.length; j++){ // 内层for遍历物品
                if (i >= nums[j]) dp[i] += dp[i - nums[j]]; // 书包容量足够(>=)的情况下才能考虑取
            }
        }
        return dp[target];
    }
}