T1 奇怪的教室

题目背景

LSU 的老师有个奇怪的教室，同学们会从左到右坐成一个横排，并且同一个位置可以坐多个同学。这天，入学考试的成绩下来了。同学们想根据入学考试的成绩，找出班里学霸扎堆的区域“学霸区”。

题目描述

共有 $N$ 个同学。给定每个同学的座位号 $X_i$，以及入学考试的分数 $S_i$。多个同学的座位号可能相同。现在给定“学霸区”长度 $L$，请找出所有长度为 $L$ 的座位号区间，考试分数之和的最大值。

输入格式

第一行两个整数 $N,L$，表示学生数量和“学霸区”长度。

接下来 $N$ 行，每行两个整数 $X_i$ 和 $S_i$，表示学生座位号和分数。

输出格式

一个数，表示所有长度为 $L$ 的座位号区间，考试分数之和的最大值。

样例 #1

样例输入 #1

6 3
1 2
2 4
3 8
4 4
5 2
1000 1

样例输出 #1

16

提示

样例说明：

选择长度为 $3$ 的座位号区间 $[2,4]$，则包含 $3$ 位同学，其座位号和分数分别为：

2 4
3 8
4 4

分数之和为 $4+8+4=16$，最大。

数据范围说明：

对于 $10\%$ 的数据，$L=0$（没有边缘）；

对于 $40\%$ 的数据，$L\le 1000$；

对于 $100\%$ 的数据，$1\le N\le 10^5$，$0\le L\le 10^5$，$1\le X_i\le 10^5$，$1\le S_i\le 100$。

除 $L=0$ 的情况外，$L$ 均为 $\ge 3$ 的奇数。

坑点 & 正解

坑点：同一个座位上能做很多人，就能“叠高高”。例如这个样例：

5 1
1 100
1 100
1 100
1 100
2 100

选 $1$ 这个座位能拿 $400$ 分。

正解：前缀和。

时间复杂度：$O(\max (X_i))$。

#include <bits/stdc++.h>
//#define int long long
using namespace std;

int n,m;
int mx;

const int N = 100010;
int a[N],b[N]; 

int ans;

void solve()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i = 1;i <= n;i++)
	{
		int x,y;
		scanf("%d%d",&x,&y);
		a[x] += y;
		mx = max(mx,x); //最大的座位号 
	}
	//前缀和 
	for (int i = 1;i <= mx;i++)
		b[i] = b[i-1] + a[i];
	for (int i = 1;i <= mx-m+1;i++)
		ans = max(ans,b[i+m-1]-b[i-1]);
	cout << ans; 
}

signed main()
{
	int TTT;
//	cin >> TTT;
	TTT = 1;
	while (TTT--) solve();
	return 0;
}

T2 安排班级

题目背景

新学期开始了，LSU 的老师迎来了若干个学生。现在老师要给大家分配班级。

题目描述

只考虑分配给每个班的学生人数。把总共 $M$ 个同学分配到总共 $N$ 个班里，可以有 $0$ 个同学的班。请问，一共有多少种不同的分配方案？

注意：假设有 $4$ 个学生，$3$ 个班。$[1,1,2]$，$[1,2,1]$ 和 $[2,1,1]$ 均视为相同的分配方案。$[0,2,2]$ 和 $[2,1,1]$ 视为不同的分配方案。

输入格式

包含多组测试数据。

第一行为一个整数，表示测试数据的数目 $T$。

接下来$T$行，每行均包括二个整数 $M$ 和 $N$。

输出格式

共 $T$ 行，为对每组测试数据的结果。

样例 #1

样例输入 #1

1
7 3

样例输出 #1

8

样例 #2

样例输入 #2

3
3 2
4 3
2 7

样例输出 #2

2
4
2

提示

样例1说明：
$8$ 种方案分别为：$[0,0,7],[0,1,6],[0,2,5],[0,3,4],[1,1,5],[1,2,4],[1,3,3],[2,2,3]$。

数据范围：
对于所有数据，保证：$1\le M,N\le 10$，$0\le T\le 20$。

坑点 & 正解

坑点：可以有 $0$ 个同学的班！

正解：一看数据范围就知道是 DFS 暴搜。注意，因为不能分相同的分配方案，所以需要非严格递增去安排人数。

时间复杂度：$O(N!)$。

老师的正解：打表。

时间复杂度：$O(1)$，完美过关！

赛时正解：

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

int sum;
int a[30];
int m,n;

void dfs(int s,int dep,int last)
{
	if (dep == n-1)
	{
		sum++;
		return ;
	}
	for (int i = last;i <= s/(n-dep);i++)
	{
		a[dep] = i;
		dfs(s-i,dep+1,i);
	}
}

void solve()
{
	scanf("%lld%lld",&m,&n);
	dfs(m,0,0);
	printf("%lld\n",sum);
	sum = 0;
}

signed main()
{
	int TTT;
	scanf("%lld",&TTT);
//	TTT = 1;
	while (TTT--) solve();
	return 0;
}

我做的：

#include <bits/stdc++.h>
//#define int long long
using namespace std;



void solve()
{
	int m,n;
	cin >> m >> n;
	if (m == 1)
	{
		if (n == 1) cout << 1;
		if (n == 2) cout << 1;
		if (n == 3) cout << 1;
		if (n == 4) cout << 1;
		if (n == 5) cout << 1;
		if (n == 6) cout << 1;
		if (n == 7) cout << 1;
		if (n == 8) cout << 1;
		if (n == 9) cout << 1;
		if (n == 10) cout << 1;
	}
	if (m == 2)
	{
		if (n == 1) cout << 1;
		if (n == 2) cout << 2;
		if (n == 3) cout << 2;
		if (n == 4) cout << 2;
		if (n == 5) cout << 2;
		if (n == 6) cout << 2;
		if (n == 7) cout << 2;
		if (n == 8) cout << 2;
		if (n == 9) cout << 2;
		if (n == 10) cout << 2;
	}
	if (m == 3)
	{
		if (n == 1) cout << 1;
		if (n == 2) cout << 2;
		if (n == 3) cout << 3;
		if (n == 4) cout << 3;
		if (n == 5) cout << 3;
		if (n == 6) cout << 3;
		if (n == 7) cout << 3;
		if (n == 8) cout << 3;
		if (n == 9) cout << 3;
		if (n == 10) cout << 3;
	}
	if (m == 4)
	{
		if (n == 1) cout << 1;
		if (n == 2) cout << 3;
		if (n == 3) cout << 4;
		if (n == 4) cout << 5;
		if (n == 5) cout << 5;
		if (n == 6) cout << 5;
		if (n == 7) cout << 5;
		if (n == 8) cout << 5;
		if (n == 9) cout << 5;
		if (n == 10) cout << 5;
	}
	if (m == 5)
	{
		if (n == 1) cout << 1;
		if (n == 2) cout << 3;
		if (n == 3) cout << 5;
		if (n == 4) cout << 6;
		if (n == 5) cout << 7;
		if (n == 6) cout << 7;
		if (n == 7) cout << 7;
		if (n == 8) cout << 7;
		if (n == 9) cout << 7;
		if (n == 10) cout << 7;
	}
	if (m == 6)
	{
		if (n == 1) cout << 1;
		if (n == 2) cout << 4;
		if (n == 3) cout << 7;
		if (n == 4) cout << 9;
		if (n == 5) cout << 10;
		if (n == 6) cout << 11;
		if (n == 7) cout << 11;
		if (n == 8) cout << 11;
		if (n == 9) cout << 11;
		if (n == 10) cout << 11;
	}
	if (m == 7)
	{
		if (n == 1) cout << 1;
		if (n == 2) cout << 4;
		if (n == 3) cout << 8;
		if (n == 4) cout << 11;
		if (n == 5) cout << 13;
		if (n == 6) cout << 14;
		if (n == 7) cout << 15;
		if (n == 8) cout << 15;
		if (n == 9) cout << 15;
		if (n == 10) cout << 15;
	}
	if (m == 8)
	{
		if (n == 1) cout << 1;
		if (n == 2) cout << 5;
		if (n == 3) cout << 10;
		if (n == 4) cout << 15;
		if (n == 5) cout << 18;
		if (n == 6) cout << 20;
		if (n == 7) cout << 21;
		if (n == 8) cout << 22;
		if (n == 9) cout << 22;
		if (n == 10) cout << 22;
	}
	if (m == 9)
	{
		if (n == 1) cout << 1;
		if (n == 2) cout << 5;
		if (n == 3) cout << 12;
		if (n == 4) cout << 18;
		if (n == 5) cout << 23;
		if (n == 6) cout << 26;
		if (n == 7) cout << 28;
		if (n == 8) cout << 29;
		if (n == 9) cout << 30;
		if (n == 10) cout << 30;
	}
	if (m == 10)
	{
		if (n == 1) cout << 1;
		if (n == 2) cout << 6;
		if (n == 3) cout << 14;
		if (n == 4) cout << 23;
		if (n == 5) cout << 30;
		if (n == 6) cout << 35;
		if (n == 7) cout << 38;
		if (n == 8) cout << 40;
		if (n == 9) cout << 41;
		if (n == 10) cout << 42;
	}
	cout << '\n';
}

signed main()
{
	int TTT;
	cin >> TTT;
	while (TTT--) solve();
	return 0;
}

同学评论：

帅爆了！

二维数组打表：

#include <bits/stdc++.h>
//#define int long long
using namespace std;

int a[20][20] = {{1,1,1,1,1,1,1,1,1,1},
				 {1,2,2,2,2,2,2,2,2,2},
				 {1,2,3,3,3,3,3,3,3,3},
				 {1,3,4,5,5,5,5,5,5,5},
				 {1,3,5,6,7,7,7,7,7,7},
				 {1,4,7,9,10,11,11,11,11,11},
				 {1,4,8,11,13,14,15,15,15,15},
				 {1,5,10,15,18,20,21,22,22,22},
				 {1,5,12,18,23,26,28,29,30,30},
				 {1,6,14,23,30,35,38,40,41,42}};

void solve()
{
	int m,n;
	cin >> m >> n;
	cout << a[m-1][n-1] << '\n';
}

signed main()
{
	int TTT;
	cin >> TTT;
	while (TTT--) solve();
	return 0;
}

T3 名牌

题目背景

LSU 的学校要举行撕名牌大赛，每个同学在比赛前可以自己选择一个字符串作为自己的名牌。

题目描述

LSU 想根据自己好朋友 CBJ 的名牌 $A$，来决定自己的名牌 $B$。

规则如下：

1. LSU 将 CBJ 的名牌 $A$ 复制一份放在末尾，得到字符串 $A+A$；

2. 在上一步得到的字符串中，LSU 任选一个位置，插入一个任意字符，得到自己的名牌 $B$。

现在给定 LSU 的名牌 $B$，你能找出 CBJ 的名牌 $A$ 吗？

输入格式

第一行一个整数 $N$ 代表 LSU 的名牌 $B$ 的长度。
第二行一个长度为 $N$ 的字符串 $B$。

输出格式

• 如果能从 $B$ 得到多种可行的 $A$ ，输出 NOT UNIQUE。
• 如果能从 $B$ 得到唯一可行的 $A$ ，输出该唯一解字符串。
• 如果不能从 $B$ 得到至少一种可行的 $A$ ，输出 NOT POSSIBLE。

样例 #1

样例输入 #1

9
ABABABABA

样例输出 #1

NOT UNIQUE

样例 #2

样例输入 #2

7
CBXACBA

样例输出 #2

CBA

样例 #3

样例输入 #3

3
XYZ

样例输出 #3

NOT POSSIBLE

提示

数据规模与约定

本题采用捆绑测试。

• 子任务 1（$35$ 分）：$N\le 2001$。
• 子任务 2（$65$ 分）：$2\le N\le 2\times 10^6+1$。

数据保证 $B$ 中只包含大写字母。

坑点 & 部分分 & 正解

坑点：字符串长度可能为偶数！

部分分就是暴力做法：

• 枚举任意字符串的下标 $i$
• $B$ 字符串去掉这个任意字符
• 拆成左右两部分
• 判断左右是否相等

正解：哈希+前缀和。

• 将时间复杂度从 $O(N^2)\to O(N)$。

1. 特判字符串 $S$ 长为偶数，不可能
2. 计算哈希前缀和数组 $h$，$h_i$ 表示 $s_1,s_2,s_3\dots s_i$ 的哈希值
3. 预处理出哈希乘数 $base$ 的 $i$ 次方，$pr{e}_i=pr{e}_{i-1}\times base$
4. 枚举插入字符的位置，比较剩下的字符串中，左右两部分的哈希值是否相等。$[l,r]$ 的哈希值是 $h_r-h_{l-1}\times pr{e}_{r-l+1}$。
5. 若左右两部分哈希值相等，sum++记录答案。
6. 若 $sum\ge 2$，输出 NOT UNIQUE
7. 若 $sum=1$，输出唯一解
8. 若 $sum=0$，输出 NOT POSSIBLE

正解：

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

int n,mid;
char s[2000010];

int base = 22783;
int la,lb;

int pre[2000010],h[2000010];
string a,b,c,d;

int _hash(int l,int r) {return h[r]-h[l-1]*pre[r-l+1];}
int __hash(int l,int r,int k) {return _hash(l,k-1)*pre[r-k]+_hash(k+1,r);}

int sum;

void solve()
{
	cin >> n >> s+1;
	mid = (n+1) / 2; 
	if (n % 2 == 0)
	{
		cout << "NOT POSSIBLE";
		return ;
	}
	pre[0] = 1;
	for (int i = 1;i <= n;i++)
	{
		pre[i] = pre[i-1] * base;
		h[i] = h[i-1] * base + (s[i] - 'A' + 1);
	}
	la = _hash(mid+1,n);
	for (int i = mid+1;i <= n;i++) a.push_back(s[i]);
	for (int i = 1;i <= mid;i++)
	{
		lb = __hash(1,mid,i);
		if (la == lb)
		{
			sum++;
			c = a;
			break;
		}
	}
	lb = _hash(1,mid-1);
	for (int i = 1;i < mid;i++) b.push_back(s[i]);
	for (int i = mid;i <= n;i++)
	{
		la = __hash(mid,n,i);
		if (la == lb)
		{
			sum++;
			d = b;
			break;
		}
	}
	if (!sum) cout << "NOT POSSIBLE";
	else if (sum == 1 || c == d) cout << (c.size() ? c : d);
	else cout << "NOT UNIQUE";
}

signed main()
{
	int TTT = 1;
//	cin >> TTT;
	while (TTT--) solve();
	return 0;
}

T4 奇怪的商店

题目描述

有一家奇怪的商店，店里的商品不是想买就能买，而是需要先积攒足够的积分和威望。

商店里有 $N$ 件商品。想购买第 $i$ 件商品，需要买家有至少 $a_i$ 的积分和 $b_i$ 的威望，且购买后可以为买家提升 $c_i$ 的积分和 $d_i$ 的威望。

LSU 很喜欢这家商店，并且想购买店里所有的商品。LSU 可以以任意的顺序进行购买。

现在，LSU 希望你帮忙计算出，要购买所有商品，LSU 的初始积分最小值是多少？在初始积分为这个最小值的前提下，LSU 的初始威望最小值应该是多少？

输入格式

第一行一个整数 $T$，表示该测试点所在的子任务编号。
第二行一个整数 $N$，表示商店内的商品总数。
接下来 $N$ 行，每行四个整数，依次表示第 $i$ 件商品的 $a_i,b_i,c_i,d_i$。

输出格式

输出一行两个整数，用空格隔开。分别表示初始积分最小值，及在初始积分最小前提下的初始威望最小值。

样例 #1

样例输入 #1

0
2
1 5 0 2
1 2 3 4

样例输出 #1

1 2

样例 #2

样例输入 #2

3
6
33 33 97 64
27 10 18 2
10 51 43 79
36 98 61 93
56 3 50 77
63 77 19 45

样例输出 #2

10 51

样例 #3

样例输入 #3

7
6
24457404 0 786147346 0
35269648 0 385597498 0
986729974 0 674254286 0
967571555 0 945921862 0
112950075 0 738686121 0
101290103 0 425579434 0

样例输出 #3

24457404 0

提示

样例 1 解释：

当童童的初始积分为 $1$，威望为 $2$ 时，刚好可购买第 $2$ 件商品。

购买后，童童的积分为 $4$，威望为 $6$，可购买第 $1$ 件商品，从而完成购买商店内所有商品。

【数据范围说明】：

本题采用多测试点捆绑测试。

• 子任务 $1$（$5$ 分）：保证 $N=0$。
• 子任务 $2$（$5$ 分）：保证 $N=1$。
• 子任务 $3$（$20$ 分）：保证 $a_i,b_i\le 100$，$N\le 6$。
• 子任务 $4$（$10$ 分）：保证 $a_i,b_i\le 10^5$，$N\le 6$。
• 子任务 $5$（$10$ 分）：保证 $a_i,b_i\le 10$。
• 子任务 $6$（$10$ 分）：保证 $a_i,b_i\le 100$。
• 子任务 $7$（$10$ 分）：保证 $b_i=0$，$N\le 6$。
• 子任务 $8$（$10$ 分）：保证 $b_i=0$。
• 子任务 $9$（$10$ 分）：保证 $N\le 6$。
• 子任务 $10$（$10$ 分）：无特殊约定。

对于全部的测试点，保证 $0\le N\le 10^5$，$0\le a_i,b_i,c_i,d_i\le 10^9$。

正解

1. 先求初始积分的最小值：
   将问题转化为有 $n$ 个商品，购买需要 $a_i$ 积分，买完后增加 $c_i$ 积分，求初始积分的最小值。
   简单贪心：按照 $a_i$ 进行从小到大排序，每次尝试购买积分需求最少的商品，买不了就增加初始积分。
2. 再按照威望的要求为第一关键字从小到大，威望的加成为第二关键字从大到小排序。

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

int T;

int n,ansa,ansb;
struct node //按照威望 
{
	int a,b,c,d;
	bool operator < (const node &x) const
	{
		return b != x.b ? b > x.b : d != x.d ? d < x.d : a != x.a ? a > x.a : c < x.c;
	}
}a[100010];
priority_queue <node> q;

bool cmp(node a,node b) //按照积分 
{
	return a.a != b.a ? a.a < b.a : a.c != b.c ? a.c > b.c : a.b != b.b ? a.b < b.b : a.d > b.d;
}

void solve()
{
	cin >> T >> n;
	for (int i = 1;i <= n;i++) cin >> a[i].a >> a[i].b >> a[i].c >> a[i].d;
	sort(a+1,a+n+1,cmp);
	for (int i = 1,aa = 0;i <= n;i++) //积分先贪心 
	{
		if (aa < a[i].a) ansa += a[i].a - aa,aa = a[i].a;
		aa += a[i].c;
	}
	cout << ansa << ' '; //先输出积分最小值
	for (int i = 1,b = 0;i <= n;i++) //再算威望
	{
		while (a[i].a > ansa)
		{
			if (b < q.top().b) ansb += q.top().b - b,b = q.top().b;
			b += q.top().d;
			ansa += q.top().c;
			q.pop(); 
		}
		if (a[i].a <= ansa) q.push(a[i]);
		if (i == n)
			while (!q.empty())
			{
				if (b < q.top().b) ansb += q.top().b - b,b = q.top().b;
				b += q.top().d;
				q.pop();
			}
	}
	cout << ansb; //最后输出威望最小值 
}

signed main()
{
	int TTT;
//	cin >> TTT;
	TTT = 1;
	while (TTT--) solve();
	return 0;
}