前置：spfa

从例题入手：

【模板】差分约束系统 | StarryCoding

题目描述

给定$n$未知量和一个大小为$m$的不等式（或等式）组，请你判断这个不等式（或等式）组是否有解。

$1$ $i$ $j$ $z$：表示$x_i\le x_j+z$

$2$ $i$ $j$ $z$：表示$x_i\ge x_j+z$

$3$ $i$ $j$：表示$x_i=y_j$。

若存在解，输出$YES$。

若不存在解，输出$NO$。

输入描述

第一行一个整数$T$表示样例个数。$(1\le T\le 1000)$

对于每组样例：

第一行两个整数$n,m$。$(2\le n\le 5\times 10^3,1\le m\le 5\times 10^3)$

接下来$m$行，每行一个不等式组。$(1\le i,j\le n,1\le z\le 10^7)$

数据保证 $\sum n\le 5\times 10^3,\sum m\le 10^4$。

输出描述

对于每组样例，第一行输出$YES$或$NO$。

输入样例

2

3 3
1 1 2 3
1 1 3 3
2 1 3 4

3 3
1 1 2 3
1 1 3 3
2 1 3 3

输出样例

NO
YES

---

在我们的$spfa$中，当$d[y]>d[x]+w$时，我们就会更新$d[y]$，换句话说，若存在一条边连接着点$x$和$y$，则$d[y]<=d[x]+w$恒成立。而这个不等式就相当于题目中第一个不等式$x_i\le x_j+z$，这也就是差分约束的原理。

所以，对于$x_i\le x_j+z$，可以假定有一条权值为$z$的边从点$j$出发指向$i$。

那具体如何判断所给不等式组是否有解？可以拟定一个虚拟源点$0$，用边权为$0$的边连到所有节点。然后从这个虚拟源点出发跑一遍最短路，若出现负环，则不等式组无解，因为出现负环时，$0$到$i$的距离比$0$到$j$的距离更远，用公式来讲就是$d[i]>d[j]+z$即$x_i>x_j+z$，不符合题意。

对于第二个不等式$x_i\ge x_j+z$则变形为，$x_j\le x_i-z$。

对于第三个式子$x_i=y_j$，则在$x$和$y$之间建立一个边权为$0$的双向边。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e5 + 9;
using ll = long long;
const ll inf = 2e18;

struct Edge
{
    int x;
    ll w;
};

int n, m;
vector<Edge> g[N];
ll d[N];

bool spfa(int st)
{
    //两行初始化，不要忘记
    for(int i = 1; i <= n; ++i) d[i] = inf;
    d[st] = 0;

    queue<int> q;       //队列存储需要更新的点
    bitset<N> inq;      //inq[i]表示第i个点在不在队列中
    q.push(st);
    vector<int> cnt(n + 1);     //计数

    while(q.size())     
    {
        int x = q.front(); 
        q.pop(); inq[x] = false;
        for(auto [y, w] : g[x])         //更新所有边
        {
            if(d[y] > d[x] + w)         //如果能被更新，更新且入队
            {
                if(++ cnt[y] >= n) return true;

                d[y] = d[x] + w;
                if(!inq[y])
                {
                    q.push(y);
                    inq[y] = true;
                }
            }
        }
    }
    return false;
}

void solve()
{
    cin >> n >> m;

    for(int i = 0; i <= n; ++i) g[i].clear();

    for(int i = 1; i <= m; ++i)
    {
        int op, x, y; cin >> op >> x >> y;
        if(op == 1)
        {
            ll w; cin >> w;
            g[y].push_back({x, w});
        }
        if(op == 2)
        {
            ll w; cin >> w;
            g[x].push_back({y, -w});
        }
        if(op == 3)
        {
            g[y].push_back({x, 0});
            g[x].push_back({y, 0});
        }
    }

    for(int i = 1; i <= n; ++i) g[0].push_back({i, 0});

    if(spfa(0)) cout << "NO" << '\n';
    else cout << "YES" << '\n';
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int _; cin >> _;
    while(_--) solve();
    return 0;
}

最后因为不等式组的解不唯一，输出时挑一个满足题意的解，只需要将距离数组$d$输出即可。