矩阵
定义一个
n
×
m
n\times m
n×m 的矩阵如下:
[
a
1
,
1
⋯
a
1
,
m
⋮
⋱
⋮
a
n
,
1
⋯
a
n
,
m
]
\begin{bmatrix}a_{1,1}&\cdots&a_{1,m}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n,1}&\cdots&a_{n,m}\end{bmatrix}
a1,1⋮an,1⋯⋱⋯a1,m⋮an,m
单位矩阵
单位矩阵 A = [ 1 ⋱ 1 ] A=\begin{bmatrix}1&&\\&\ddots&\\&&1\end{bmatrix} A= 1⋱1 。
矩阵乘法
一般来说,矩阵乘法需要左侧矩阵的列数要等于右侧矩阵的行数。
设两个矩阵分别为
a
×
b
a\times b
a×b 的
A
A
A 和
b
×
c
b\times c
b×c 的
B
B
B
那么设
A
×
B
=
C
A\times B=C
A×B=C,则
C
C
C 为
a
×
c
a\times c
a×c 的。
对于
i
∈
[
1
,
a
]
i\in[1,a]
i∈[1,a],
j
∈
[
1
,
c
]
j\in[1,c]
j∈[1,c],
C
i
,
j
=
∑
k
∈
[
1
,
b
]
A
i
,
k
⋅
B
k
,
j
C_{i,j}=\sum\limits_{k\in[1,b]}A_{i,k}\cdot B_{k,j}
Ci,j=k∈[1,b]∑Ai,k⋅Bk,j
一些性质
矩阵乘法满足结合律,但不满足交换律,读者不妨自证。
代码
就是矩阵结构体的板子
struct mtrx{
int n,m,a[N][N];
void init(){n=0;m=0;memset(a,0,sizeof(a));}
void init_one(int x){init();n=m=x;for (int i=1;i<=x;i++) a[i][i]=1;}
}
mtrx operator*(mtrx a,mtrx b){
mtrx c;c.init();
c.n=a.n;c.m=b.m;
for (int i=1;i<=c.n;i++) for (int k=1;k<=a.m;k++) for (int j=1;j<=c.m;j++)
c.a[i][j]+=a.a[i][k]*b.a[k][j];
return c;
}