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  • • 问题描述
    • 回溯算法
    • `Python`实现
    • 时间复杂性

问题描述

• 在$n\times n$格的棋盘上放置彼此不受攻击的$n$个皇后，按照国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子
• $n$皇后问题等价于，在$n\times n$格的棋盘上放置$n$个皇后，任何$2$个皇后不放在同一行或同一列或同一斜线上

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回溯算法

• 用$n$元组$x[1:n]$表示$n$皇后问题的解，$x[i]$表示皇后$i$放在棋盘的第$i$行的第$x[i]$列
• 如果将$n \times n $格的棋盘看做二维方阵，其行号从上到下，列号从左到右依次编号为$1$，$2$，$\cdots$，$n$，从棋盘左上角到右下角的主对角线及其平行线上，$2$个下标值的差值相等，斜率为$+1$的每条斜线上，$2$个下标值的和值相等，若$2$个皇后放置的位置分别是$(i,j)$和$(k,l)$，且$i-j=k-l$或$i+j=k+l$，则说明这$2$个皇后处于同一斜线上，由此可知，只要$|i-k|=|j-l|$成立，就表明$2$个皇后位于同一条斜线上
• 用回溯法解$n$皇后问题时，用完全$n$叉树表示解空间
• 可行性约束剪去不满足行、列和斜线约束的子树
• 当$i=n$时，算法搜索至叶结点，得到一个新的$n$皇后互不攻击放置方案，当前已找到的可行方案数$sum$增$1$
• 当$i<n$时，当前扩展结点$Z$是解空间中的内部结点，该结点有$n$个儿子结点，对当前扩展结点$Z$的每个儿子结点检查其可行性，并以深度优先的方式递归地对可行子树搜索，或剪去不可行子树

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Python实现

def solve_n_queens(n):
    board = [['.'] * n for _ in range(n)]

    solutions = []

    def is_valid(row, col):
        # 检查当前位置是否可以放置皇后
        for i in range(row):
            if board[i][col] == 'Q':
                return False

            if col - (row - i) >= 0 and board[i][col - (row - i)] == 'Q':
                return False

            if col + (row - i) < n and board[i][col + (row - i)] == 'Q':
                return False

        return True

    def backtrack(row):
        if row == n:
            # 找到一个解决方案
            solutions.append([''.join(row) for row in board])

            return

        for col in range(n):
            if is_valid(row, col):
                board[row][col] = 'Q'

                backtrack(row + 1)

                board[row][col] = '.'

    backtrack(0)

    return solutions


n = 4

solutions = solve_n_queens(n)

print('-' * 5)

for solution in solutions:
    print('\n'.join(solution))

    print('-' * 5)

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.Q..
...Q
Q...
..Q.
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..Q.
Q...
...Q
.Q..
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时间复杂性

• $n$皇后问题的时间复杂性为$O(n!)$

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