1. 红黑树的概念
红黑树
，是一种
二叉搜索树
，但
在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是
Red
或
Black
。 通过对
任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路
径会比其他路径长出俩倍
，因而是
接近平衡
的
2. 红黑树的性质
1.
每个结点不是红色就是黑色
2.
根节点是黑色的
3.
如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的
4.
对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点
5.
每个叶子结点都是黑色的
(
此处的叶子结点指的是空结点
)
3. 红黑树节点的定义
新增结点给红色，因为给黑色会破坏各个路径黑色结点数量相同的条件
// 节点的颜色
enum Color { RED, BLACK };
// 红黑树节点的定义
template<class ValueType>
struct RBTreeNode
{
RBTreeNode(const ValueType& data = ValueType()，Color color = RED)
: _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr)
, _data(data), _color(color)
{}
RBTreeNode<ValueType>* _pLeft; // 节点的左孩子
RBTreeNode<ValueType>* _pRight; // 节点的右孩子
RBTreeNode<ValueType>* _pParent; // 节点的双亲(红黑树需要旋转，为了实现简单给
出该字段)
ValueType _data; // 节点的值域
Color _color; // 节点的颜色
};4. 红黑树的插入操作
红黑树是在二叉搜索树的基础上加上其平衡限制条件，因此红黑树的插入可分为两步：
1.
按照二叉搜索的树规则插入新节点
2. 检测新节点插入后，红黑树的性质是否造到破坏并更新
因为
新节点的默认颜色是红色
，因此：如果
其双亲节点的颜色是黑色，没有违反红黑树任何
性质
，则不需要调整；但
当新插入节点的双亲节点颜色为红色时，就违反了性质三不能有连
在一起的红色节点，此时需要对红黑树分情况来讨论：
约定
:cur
为当前节点，
p
为父节点，
g
为祖父节点，
u
为叔叔节点
4.1 cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红
这个时候，p与g的左右关系没有影响，只有g是否为根有影响：
如果g是根结点，调整完后，需要将g更改为黑色
如果g是子树，g就一定有双亲，且如果g的双亲如果是红色，则需要继续向上调整
解决方式：将
p,u
改为黑，
g
改为红，然后把
g
当成
cur
，继续向上调整
4.2 cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑
这个时候，p与g的左右关系有影响：
这时有两种情况：
1. u 结点不存在，则cur 一定是新增结点，因为如果cur不是新增结点，则cur和p一定有一个结点的颜色是黑色，不然就破坏了各路径黑色结点数量相等的条件，但是这与更新条件相违背：只有c和p都是红色才进行更新
2.u 结点存在且为黑，则cur原来一定是黑色的，只是因为cur在的子树在先前已经更新完了，cur颜色由黑色改成红色
解决方式：p为g的左孩子，cur为p的左孩子，则进行右单旋转；
p为g的左孩子，cur为p的右孩子，则进行左右双旋转；相反，
p为g的右孩子，cur为p的右孩子，则进行左单旋转；
p为g的右孩子，cur为p的左孩子，则进行右左双旋转；
p、g变色--p变黑，g变红
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
//先找插入的位置
if (_root == nullptr) {
_root = new Node(kv);
_root->_col = BLACK;
return true;
}
Node* cur = _root;
Node* parent = nullptr;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
//找到后插入并连接cur和parent
cur = new Node(kv);
if (parent->_kv.first < kv.first)
parent->_right = cur;
else
parent->_left = cur;
cur->_parent = parent;
//当parent存在且为红色时，需要更新颜色
while (parent && parent->_col == RED)
{
Node* grandfather = parent->_parent;
//uncle是grandfather的右孩子
if (grandfather->_left == parent)
{
Node* uncle = grandfather->_right;
//uncle存在且为红色
if (uncle && uncle->_col == RED)
{
//颜色更新
uncle->_col = parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
//继续向上遍历
cur = grandfather;
parent = cur->_parent;
}
else
{
//uncle不存在，或者是uncle存在但为黑色
if (cur == parent->_left)
{
// g
// p u
// c
//需要进行右单旋,更改颜色：parent->黑色，
//grandfather->红色
RotateR(grandfather);
parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
else
{
// g c
// p u -> p g
// c u
//需要进行左右双旋,更改颜色：cur->黑色，
//grandfather->红色
RotateL(parent);
RotateR(grandfather);
cur->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
break;//旋转后重新平衡，直接退出
}
}
//uncle是grandfather的左孩子
else
{
Node* uncle = grandfather->_left;
//uncle存在且为红色
if (uncle && uncle->_col == RED)
{
//颜色更新
uncle->_col = parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
//继续向上遍历
cur = grandfather;
parent = cur->_parent;
}
else
{
//uncle不存在，或者是uncle存在但为黑色
if (cur == parent->_right)
{
// g
// u p
// c
//需要进行左单旋,更改颜色：parent->黑色，
//grandfather->红色
RotateL(grandfather);
parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
else
{
// g c
// u p -> g p
// c u
//需要进行右左双旋,更改颜色：cur->黑色，
//grandfather->红色
RotateR(parent);
RotateL(grandfather);
cur->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
break;//旋转后重新平衡，直接退出
}
}
}
//对根结点统一更改颜色为黑色
_root->_col = BLACK;
return true;
}
void RotateL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
parent->_right = subRL;
if (subRL)
subRL->_parent = parent;
subR->_left = parent;
Node* ppnode = parent->_parent;
parent->_parent = subR;
if (parent == _root)
{
_root = subR;
subR->_parent = nullptr;
}
else
{
if (ppnode->_left == parent)
{
ppnode->_left = subR;
}
else
{
ppnode->_right = subR;
}
subR->_parent = ppnode;
}
}
void RotateR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
parent->_left = subLR;
if (subLR)
subLR->_parent = parent;
subL->_right = parent;
Node* ppnode = parent->_parent;
parent->_parent = subL;
if (parent == _root)
{
_root = subL;
subL->_parent = nullptr;
}
else
{
if (ppnode->_left == parent)
{
ppnode->_left = subL;
}
else
{
ppnode->_right = subL;
}
subL->_parent = ppnode;
}
}
5. 红黑树的验证
红黑树的检测分为两步：
1.
检测其是否满足二叉搜索树
(
中序遍历是否为有序序列
)
2.
检测其是否满足红黑树的性质
bool Check(Node* cur, int blackNum, int refBlackNum)
{
//在一条路径走完后再判定黑色结点的数量是否有异常，有就报错
//什么时候走完？ 当前结点走到空结点就走完一条路径，这里用前序遍历
if (cur == nullptr)
{
if (blackNum != refBlackNum)
{
cout << "黑色结点数量异常，错误！" << endl;
cout << blackNum << endl;
return false;
}
//cout << blackNum << endl;
return true;
}
//有连续的红色结点就报错：找到一个红结点再看它的parent是不是红结点
if (cur->_col == RED && cur->_parent && cur->_parent->_col == RED)
{
cout << "有连续的红结点，错误！" << endl;
return false;
}
//遇到黑色结点，blackNum++
if (cur->_col == BLACK)
blackNum++;
return Check(cur->_left, blackNum, refBlackNum)
&& Check(cur->_right, blackNum, refBlackNum);
}
bool IsBalance()
{
//空结点也是红黑树
if (_root == nullptr)
return true;
//根存在但是根的颜色是红就报错
if (_root && _root->_col == RED)
{
cout << "根是红色，错误！" << endl;
return false;
}
//先遍历最左路径，得到黑色结点的数量
int refBlackNum = 0;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_col == BLACK)
refBlackNum++;
cur = cur->_left;
}
return Check(_root, 0, refBlackNum);
}6. 红黑树的模拟实现
#pragma once
#include<vector>
#include<iostream>
using namespace std;
enum Colour
{
RED,
BLACK
};
template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{
RBTreeNode<K, V>* _left;
RBTreeNode<K, V>* _right;
RBTreeNode<K, V>* _parent;
pair<K, V> _kv;
Colour _col;
RBTreeNode(const pair<K, V>& kv)
:_left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _parent(nullptr)
, _kv(kv)
, _col(RED)//如果是根，则为黑色，新增结点默认是红色
{}
};
template<class K, class V>
class RBTree
{
typedef RBTreeNode<K, V> Node;
public:
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
......
}
void RotateL(Node* parent)
{
......
}
void RotateR(Node* parent)
{
......
}
bool Check(Node* cur, int blackNum, int refBlackNum)
{
......
}
bool IsBalance()
{
......
}
Node* Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first < key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > key)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
return cur;
}
}
return NULL;
}
int _Height(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return 0;
int leftHeight = _Height(root->_left);
int rightHeight = _Height(root->_right);
return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
}
int Height()
{
return _Height(_root);
}
private:
Node* _root = nullptr;
};
