目录
1 原始矩阵A
2 子式（都是行列式）
2.1 k阶子式
2.2 k阶主子式
2.3 k阶顺序主子式
3 余子式
3.1 余子式
3.2 代数余子式
3.3 余子式作用是？
1 原始矩阵A
- 下面设计一个原始矩阵A，故意设计为A34, 行数≠列数
$$
\left[
\begin{matrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
5 & 6 & 7 & 8 \\
9 & 10 &11 & 12 \\
\end{matrix}
\right]
$$
2 子式（都是行列式）
- 子式都是行列式
2.1 k阶子式
- 从一个矩阵中任取k行k列，交叉处会有k*k个元素，这些元素构成仍然保持在矩阵中的相对位置次序得到的k阶行列式，称为矩阵的K阶子式
- 如果一个矩阵 Am*n 如果i∈m是1个k元子集，而且 j∈n是1个k元子集, 那么|A|i*j是Am*n的k阶子式
- 简单的说，子式就是从矩阵里旋转的部分矩阵形成的行列式，行数=列数即可
比如1阶子式：因为只有1行1列
$$
\left[
\begin{matrix}
1 \\
\end{matrix}
\right]
$$
$$
\left[
\begin{matrix}
7 \\
\end{matrix}
\right]
$$
比如2阶子式：因为有2行2列
$$
\left[
\begin{matrix}
1 & 2 \\
5 & 6 \\
\end{matrix}
\right]
$$
$$
\left[
\begin{matrix}
1 & 4 \\
5 & 8 \\
\end{matrix}
\right]
$$
比如3阶子式：因为有3行3列
$$
\left[
\begin{matrix}
1 & 3 & 4 \\
5 & 7 & 8 \\
9 &11 & 12 \\
\end{matrix}
\right]
$$
2.2 k阶主子式
- 如果取得行号列号相等，则是k阶主子式
- 如果i=j,那么|A|i*j是Am*n的k阶主子式
- 简单的说，主子式就是从矩阵里旋转的部分矩阵形成的行列式，要求行数=列数，并且还要求是 {行序号数组} ={列序号数组}
比如1阶主子式：因为有1行1列，且是第1行，第1列
$$
\left[
\begin{matrix}
1 \\
\end{matrix}
\right]
$$
但是下面这个子式就不是主子式，因为取得是第2行，第3列的内容构成的子式
$$
\left[
\begin{matrix}
7 \\
\end{matrix}
\right]
$$
比如2阶主子式：因为有2行2列，且是第1，2行，第1，2列
$$
\left[
\begin{matrix}
1 & 2 \\
5 & 6 \\
\end{matrix}
\right]
$$
下面这个子式仍然是主子式，因为取得是第1，3行，第1，3列的内容构成的子式
$$
\left[
\begin{matrix}
1 & 3 \\
9 & 11 \\
\end{matrix}
\right]
$$
但是下面这个子式就不是主子式，因为取得是第1，2行，第1，4列的内容构成的子式
$$
\left[
\begin{matrix}
1 & 4 \\
5 & 8 \\
\end{matrix}
\right]
$$
比如3阶主子式：因为有3行3列，且是第1，2，3行，第1，2，3列
$$
\left[
\begin{matrix}
1 & 2 & 3 \\
5 & 6 & 7 \\
9 &10 & 11 \\
\end{matrix}
\right]
$$
但是下面这个子式就不是主子式，因为取得是第1，2，3行，第1，3，4列的内容构成的子式
$$
\left[
\begin{matrix}
1 & 3 & 4 \\
5 & 7 & 8 \\
9 &11 & 12 \\
\end{matrix}
\right]
$$
2.3 k阶顺序主子式
- 如果i=j=(1,2....k),即取得是左起前k列，和上起前k行,那么|A|i*j是Am*n的k阶顺序主子式
- 简单的说，顺序主子式就是从矩阵里旋转的部分矩阵形成的行列式，要求行数=列数，并且还要求是 {行序号数组} ={列序号数组}，并且，还得是按从左到右，从上到下这么按次序取行和列。
1阶顺序主子式：因为有1行1列，且是第1行，第1列
$$
\left[
\begin{matrix}
1 \\
\end{matrix}
\right]
$$
2阶顺序主子式：因为有2行2列，且是第1，2行，第1，2列
$$
\left[
\begin{matrix}
1 & 2 \\
5 & 6 \\
\end{matrix}
\right]
$$
3阶顺序主子式：因为有3行3列，且是第1，2，3行，第1，2，3列
$$
\left[
\begin{matrix}
1 & 2 & 3 \\
5 & 6 & 7 \\
9 & 10 &11 \\
\end{matrix}
\right]
$$
3 余子式
作用是把n阶行列式化简为n – 1阶行列式
3.1 余子式
- 在n阶行列式（意味着比然是方阵对应的矩阵）中，把aij所在的第i行和第j列的内容划掉，留下来的行列式称为余子式。
- 记为Mij
3.2 代数余子式
严格定义
- 矩阵，方阵 An*n
- 其余子式 Mij
- 代数余子式记为Cij=(-1)^(i+j)*Mij
3.3 余子式作用是？
- 作用是把n阶行列式化简为n – 1阶行列式
- C的转置矩阵称为A的伴随矩阵，伴随矩阵类似于逆矩阵，并且当A可逆时可以用来计算它的逆矩阵。
- 3阶行列式的展开，需要用到余子式的计算
