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数学题初赛

发布时间:2022/9/15 21:18:08

数学题

期望

  1. 随机抛硬币,在连续三次得到的结果是正反正时停止,那么期望抛的次数是

先看简单的一道题:随机抛硬币,在连续三次得到的结果是正反正时停止,那么期望抛的次数是

假设投了n-1次正面需要Tn-1次

在网上看到一个巧妙的解法,假设已经连续抛出n-1次正面,需要Tn−1次。想得到n次正面,则再进行一次投掷(Tn=Tn−1+1+?),若硬币为正面则游戏结束,还需要抛0次(Tn=Tn−1+1+0.5∗0+?)如果硬币为反面,则游戏重来,还需要投掷0.5∗Tn次

递推公式如下所示:Tn=Tn-1 + 1 + 0.5*0 + 0.5 * Tn

img

E(1) = 2 ,E(3)=14

我们再看原题,同理可得递推公式为 Tn = (Tn-1 + 1)0.5[从上一次转移过来后成功的] + (Tn-1+1[从上一次转移过来失败的] + Tn[从头再来])0.5

递推式也是E(n)=2*E(n-1)+2

本质是一样的答案为14.

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