背包问题

容量有限的背包，给很多商品，商品有相应的体积与价值

01背包问题

一个背包 每个物品只有一个

 

最终状态方程

dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i])

推导过程

由上一层推导过来

选择拿不拿i

最终代码

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
// 1 2 3 4 5 分别代表商品编号
int bag_01(int n,int b,vector<int> &v,vector<int> &w)
{
    // b 代表bag v代表价值 w代表weight
    vector<vector<int>> dp(n+1,vector<int>(b+1));
    //int dp[v.size()+1][b+1]; // 代表选完i产品，背包有b容积 能获得的最大价值
    
    // 当i=0时
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=b;j++)
        {
            // 等于在背包容积允许的情况下给背包加了重量，同时也加入了价值
            dp[i][j]=dp[i-1][j];
            if(j>=w[i]) dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]);
        }
    }
    return dp[n][b];
}

int main()
{
    // dp[i][j] i 表示第i次选择 j表示剩余的体积
    int n=0;
    cin>>n;
    vector<int> v(n+1);
    vector<int> w(n+1);
    int b=0;
    cin>>b;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>w[i]>>v[i];
    }
    cout<<bag_01(n,b,v,w)<<endl;
}

完全背包问题

每个商品无限个

 

最终状态方程

dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-w[i]]+v[i])

推导过程

每个物品无限个,尝试为每个产品都尝试塞进去

for(int i=1;i<=n;i++)
{
	for(int j=0;j<=b;j++)
	{
			for(int k=0;j*w[i]<=j;k++)
			{
				dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-k*w[i]]+k*v[i]);
			}
	}
}

可以转化为2维，[i][j]中与[i][j-w[i]] 有很相似的部分

[i][j]=max([i-1][j],[i-1][j-w]+v,[i-1][j-2w]+2v,[i-1][j-3w]+3v....)
[i][j-w]=max([i-1][j-w],[i-1][j-2w]+v,[i-1][j-3w]+2v....). 
[i][j]=max([i-1][j],[i][j-w]+v)

最终代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
int whole_bag(int n,int b,vector<int> &v,vector<int> &w)
{
    //cout<<"进入"<<endl;
    vector<vector<int> > dp(n+1,vector<int>(b+1));
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=b;j++)
        {
            dp[i][j]=dp[i-1][j];
            if(j>=w[i])
            {
                dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][j-w[i]]+v[i]);
            }
        }
    }
    return dp[n][b];
}
int main()
{
    int n=0;
    cin>>n;
    vector<int> v(n+1);
    vector<int> w(n+1);
    int b=0;
    cin>>b;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>w[i]>>v[i];
    }
    cout<<whole_bag(n,b,v,w)<<endl;
}

多重背包问题

每个物品数量不一样

 

推导过程

朴素解法，给k的数目加上一个限制

for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=b;j++)
        {
            for(int k=0;k*w[i]<=j&&k<=s[i];k++)
            {
                dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-k*w[i]]+k*v[i]);
            }
        }
    }

看能否采用完全背包的优化方法呢？

[i][j]=max([i-1][j],[i-1][j-w]+v,[i-1][j-2w]+2v,[i-1][j-3w]+3v+...+[i-1][j-sw]+sw)
[i][j-w]=max([i-1][j-w],[i-1][j-2w]+v,[i-1][j-3w]+2v....+[i-1][j-sw]+(s-1)w+[i-1][j-(s+1)w]+sw). 
会发现[i][j-w] 多了一项，这就无法用max

采用二进制方法优化，将 多重背包问题 转化成 01背包问题

如一个商品有100个

1 个 作为一个商品

2 个 作为一个商品

4 个 作为一个商品

8 个 作为一个商品

.. 最后一个商品用剩余的数目当成整体商品

512 个 作为一个商品

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
int bag_01(int n,int b,vector<int>&w,vector<int>&v)
{
    vector<vector<int> > dp(n+1,vector<int>(b+1));
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=b;j++)
        {
            dp[i][j]=dp[i-1][j];
            if(j>=w[i]) dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]);
        }
    }
    return dp[n][b];
}

int main()
{
    int n_fake=0;
    cin>>n_fake;
    int b=0;
    cin>>b;
    int n=0;
    vector<int> v;
    vector<int> w;
    v.push_back(-1);
    w.push_back(-1);
    for(int i=1;i<=n_fake;i++)
    {
        int l1,l2,l3;
        // l1 是 体积
        // l2 是 价值
        // l3 是 个数
        cin>>l1>>l2>>l3;
        int k=1;
        while(k>=l3)
        {
            l3-=k;
            v.push_back(l2*k);
            w.push_back(l1*k);
            n+=1;
            k*=2;
        }
        if(l3!=0)
        {
            v.push_back(l2*k);
            w.push_back(l1*k);
        }
    }
    cout<<bag_01(n,b,w,v)<<endl;

}

分组背包问题

 

物品有n组，每组物品有若干个，每组最多选一个

分组背包问题

dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i,k]]+v[i,k])

选择第k个商品

类似多重背包问题的朴素写法,非常符合逻辑

#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
int group_bag(int n,int b,vector<vector<int> >& w,vector<vector<int> >& v)
{
    vector<vector<int> > dp(n+1, vector<int>(b+1));
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=b;j++)
        {
            dp[i][j]=dp[i][j-1];
            for(int l=0;l<v[i].size();l++)
            {
                if(w[i][l]<=j) dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-w[i][l]]+v[i][l]);
            }
        }
    }
    return dp[n][b];
}
int main()
{
    vector<vector<int> > w;
    vector<vector<int> > v;
    int n=0;
    int b=0;
    cin>>n>>b;
    w.push_back(vector<int>(1));
    v.push_back(vector<int>(1));
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int n1=0;
        cin>>n1;
        vector<int> v1(n1);
        vector<int> w1(n1);
        for(int j=0;j<n1;j++)
        {
            int a=0;
            int b=0;
            cin>>a>>b;
            w1.push_back(a);
            v1.push_back(b);
        }
        w.push_back(w1);
        v.push_back(v1);
    }
    cout<<group_bag(n,b,w,v)<<endl;
}

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