(2n-1) 局 n 胜制
一次比赛中，进行 \(2n-1\) ($n \in \mathbb N^* $）局测试，每局成功的概率为 \(p\)，若成功的测试次数不小于 \(n\) 次，则称是这次比赛胜利。
设 \(a_n\) 为这样的“\(2n-1\) 局 \(n\) 胜”达成的概率，则有：
\[a_n = \sum_{k=0}^{n-1}\binom{2n-1}{k}(1-p)^kp^{2n-1-k}
\]
试证明 \(a_{n+1} - a_n = \binom{2n-1}{n}p^n(1-p)^n(2p-1)\)。
方法一：
考虑组合意义，当进行 \(2n+1\) 局测试时，设随机事件：
- \(A\) 表示前 \(2n-1\) 局测试组成的比赛胜利；
- \(B\) 表示所有 \(2n+1\) 局测试组成的比赛胜利；
- \(C_k\) 表示前 \(2n-1\) 局中，恰好有 \(k\) 局成功；
- \(D_k\) 表示第 \(2n\) 和第 \(2n+1\) 局中，恰好有 \(k\) 局成功。
显然 \(C_k\) 两两互斥，\(D_k\) 两两互斥。\(C_{k_1}\) 与 \(D_{k_2}\) 独立。
\[a_{n+1} - a_n = P(B) - P(A) = P(\overline{A}B) - P(A\overline{B}) = P(C_{n-1}D_2) - P(C_{n}D_0)
\]
而
\[P(C_{n-1}D_2) = \binom{2n-1}{n-1}p^{n+1}(1-p)^n
\]
且
\[P(C_nD_0) = \binom{2n-1}{n}p^n(1-p)^{n+1}
\]
故
\[a_{n+1} - a_n = \binom{2n-1}{n}p^n(1-p)^n(2p-1)
\]
方法二：
\[\binom{2n+1}{k} = \binom{2n-1}{k-2} + 2\binom{2n-1}{k-1} + \binom{2n-1}{k}
\]
然后直接化简，最终能够得到相同的式子。
由此可以得到，成功率大的一方倾向于希望测试局数更多。
拓展：
有道题目类似地定义了 \(2n\) 局 \(n + 1\) 胜制。做法是相近的，不过根据给定的 \(p\) 可能可以得出劣势方在某个 \(> 1\) 的 \(n\) 上最优。