这个程序使用C++开源优化库Ceres拟合一个较为复杂的非线性函数。

真实的函数模型是：

代码里给的真实值a=1,b=2,c=1,

把abc代入函数模型得到具体的模型：

f(x)加入随机噪声后生成了散点图.

下面的图片同时绘制了真实曲线和散点图。

程序会根据散点图的数据拟合出a,b,c.

这是绘制出来的拟合曲线：

这是程序输出的优化报告：

从这个优化报告的第三列cost_change可以看出来，第7次迭代cost的变化量是0.00011，已经满足Ceres预设的精度要求了，就终止迭代了。

下面是优化结果的列表对比：

代码：

#include <iostream> #include <opencv2/core/core.hpp> #include <ceres/ceres.h> #include <chrono> using namespace std; // 代价函数的计算模型 struct CURVE_FITTING_COST { CURVE_FITTING_COST(double x, double y) : _x(x), _y(y) {} // 残差的计算 template<typename T> bool operator()( const T *const abc, // 模型参数，有3维 T *residual) const { residual[0] = T(_y) - ceres::exp(abc[0] * T(_x) * T(_x) + abc[1] * T(_x) + abc[2]); // y-exp(ax^2+bx+c) return true; } const double _x, _y; // x,y数据 }; int main(int argc, char **argv) { double ar = 1.0, br = 2.0, cr = 1.0; // 真实参数值 double ae = 2.0, be = -1.0, ce = 5.0; // 估计参数值 int N = 100; // 数据点 double w_sigma = 1.0; // 噪声Sigma值 double inv_sigma = 1.0 / w_sigma; cv::RNG rng; // OpenCV随机数产生器 vector<double> x_data, y_data; // 数据 for (int i = 0; i < N; i++) { double x = i / 100.0; x_data.push_back(x); y_data.push_back(exp(ar * x * x + br * x + cr) + rng.gaussian(w_sigma * w_sigma)); } double abc[3] = {ae, be, ce}; // 构建最小二乘问题 ceres::Problem problem; for (int i = 0; i < N; i++) { problem.AddResidualBlock( // 向问题中添加误差项 // 使用自动求导，模板参数：误差类型，输出维度，输入维度，维数要与前面struct中一致 new ceres::AutoDiffCostFunction<CURVE_FITTING_COST, 1, 3>( new CURVE_FITTING_COST(x_data[i], y_data[i]) ), nullptr, // 核函数，这里不使用，为空 abc // 待估计参数 ); } // 配置求解器 ceres::Solver::Options options; // 这里有很多配置项可以填 options.linear_solver_type = ceres::DENSE_NORMAL_CHOLESKY; // 增量方程如何求解 options.minimizer_progress_to_stdout = true; // 输出到cout ceres::Solver::Summary summary; // 优化信息 chrono::steady_clock::time_point t1 = chrono::steady_clock::now(); ceres::Solve(options, &problem, &summary); // 开始优化 chrono::steady_clock::time_point t2 = chrono::steady_clock::now(); chrono::duration<double> time_used = chrono::duration_cast<chrono::duration<double>>(t2 - t1); cout << "solve time cost = " << time_used.count() << " seconds. " << endl; // 输出结果 cout << summary.BriefReport() << endl; cout << "estimated a,b,c = "; for (auto a:abc) cout << a << " "; cout << endl; return 0; }

参考：高翔《视觉SLAM十四讲》