数据表示与运算
数据表示与运算
🎯核心目标：掌握计算机如何用二进制表示各种数据（整数、小数、字符），以及ALU如何进行算术和逻辑运算。
一、为什么计算机使用二进制？
💡核心原因：二进制最简单、最可靠、最物理可实现。
| 原因 | 解释 |
|---|---|
| 物理实现简单 | 电路只需两种状态：高电平(1) / 低电平(0)，可用电压、电流、磁化方向表示 |
| 运算规则简单 | 二进制加法只有4种组合，比十进制简单得多 |
| 抗干扰能力强 | 两种状态区分度大，即使信号有一定衰减也能正确识别 |
| 逻辑门实现方便 | 与布尔代数完美对应：真/假 = 1/0 |
🔑关键认识：计算机内部所有数据——数字、文字、图像、音频、视频——本质上都是0和1的序列。
二、进制转换
1. 常见进制
| 进制 | 前缀/后缀 | 示例 | 应用场景 |
|---|---|---|---|
| 二进制 | 0b/B | 0b1010 | 计算机内部 |
| 八进制 | 0/O | 017 | Unix文件权限 |
| 十进制 | 无 /D | 13 | 人类日常 |
| 十六进制 | 0x/H | 0xFF | 内存地址、颜色编码 |
2. R进制 ↔ 十进制
R进制 → 十进制：按权展开求和
(1011.01)₂ = 1×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ + 0×2⁻¹ + 1×2⁻² = 8 + 0 + 2 + 1 + 0 + 0.25 = 11.25十进制 → R进制：整数部分除R取余（倒序），小数部分乘R取整（正序）
将 13.625 转为二进制： 整数部分：13 ÷ 2 = 6 余 1 6 ÷ 2 = 3 余 0 3 ÷ 2 = 1 余 1 1 ÷ 2 = 0 余 1 → 倒序：1101 小数部分：0.625 × 2 = 1.25 → 取整 1 0.25 × 2 = 0.5 → 取整 0 0.5 × 2 = 1.0 → 取整 1 → 正序：101 结果：(13.625)₁₀ = (1101.101)₂⚠️注意：有些小数无法精确转换（如0.1），会在有限位数后截断，导致浮点数精度问题。
3. 二进制 ↔ 八进制/十六进制
- 二进制→八进制：每3位一组（整数左补零，小数右补零）
- 二进制→十六进制：每4位一组
(110101110.101)₂ → 八进制：110 101 110 . 101 → (656.5)₈ → 十六进制：0001 1010 1110 . 1010 → (1AE.A)₁₆三、定点数的表示
定点数：小数点位置固定。分为定点整数和定点小数。
1. 真值与机器数
- 真值：实际数值（带正负号），如 +13、-7.5
- 机器数：计算机中存储的二进制表示（用符号位表示正负）
2. 无符号数
- 所有位都表示数值，没有符号位
- 8位无符号数范围：0 ~ 255（0 ~ 2⁸-1）
- n位无符号数范围：0 ~ 2ⁿ-1
3. 有符号数的表示方法
原码（Sign-Magnitude）
- 最高位为符号位（0正1负），其余为数值位
- 例：+5 =
0,0000101，-5 =1,0000101 - 缺点：零有两种表示（+0和-0）；加减运算需要额外判断符号
反码（One’s Complement）
- 正数：与原码相同
- 负数：符号位不变，数值位按位取反
- 例：-5 =
1,1111010 - 缺点：零仍有两种表示；运算时需处理循环进位
补码（Two’s Complement）⭐⭐⭐
🔑最重要、最常用：现代计算机中，整数统一使用补码表示和运算。
- 正数：与原码相同
- 负数：反码 + 1（或：模 - 真值）
- 例：-5 的补码：原码
1,0000101→ 反码1,1111010→ 补码1,1111011 - 优点：零唯一表示；加减法统一；符号位参与运算无需单独处理
补码求法速记：
方法1：原码 → 反码（除符号位取反） → +1 方法2：从右往左，找到第一个1，它左边所有位取反（符号位除外） 方法3：模运算（2ⁿ - |真值|）移码（Excess-N / Offset Binary）
- 用于浮点数的阶码表示
- 定义：移码 = 真值 + 偏移量（通常为 2ⁿ⁻¹）
- 特点：便于比较大小（与无符号数的顺序一致）
- 例：8位移码，偏移量128，+5 =
10000101（即128+5=133）
4. 三种表示法的对比
| 真值 | 原码 | 反码 | 补码 |
|---|---|---|---|
| +5 | 0,0000101 | 0,0000101 | 0,0000101 |
| -5 | 1,0000101 | 1,1111010 | 1,1111011 |
| +0 | 0,0000000 | 0,0000000 | 0,0000000 |
| -0 | 1,0000000 | 1,1111111 | 0,0000000（与+0相同）✓ |
5. 定点数的范围
n位整数（1位符号 + n-1位数值）：
- 原码/反码：-(2ⁿ⁻¹-1) ~ +(2ⁿ⁻¹-1)
- 补码：-2ⁿ⁻¹ ~ +(2ⁿ⁻¹-1)
- 无符号：0 ~ 2ⁿ-1
8位举例：
- 补码：-128 ~ +127
- 原码：-127 ~ +127
- 无符号：0 ~ 255
💡补码可以多表示一个负数：因为零唯一，所以-128的补码是
10000000。
四、定点数的运算
1. 移位运算
| 移位类型 | 操作 | 符号位 | 空位填充 | 用途 |
|---|---|---|---|---|
| 逻辑左移 | 整体左移 | 参与 | 右补0 | 无符号数×2 |
| 逻辑右移 | 整体右移 | 参与 | 左补0 | 无符号数÷2 |
| 算术左移 | 整体左移 | 不变 | 右补0 | 有符号数×2 |
| 算术右移 | 整体右移 | 不变 | 左补符号位 | 有符号数÷2 |
⚠️算术左移注意：若符号位改变，则发生溢出！
2. 加减运算（补码加减法）⭐⭐⭐
核心公式：
[A + B]补 = [A]补 + [B]补 （mod 2ⁿ） [A - B]补 = [A]补 + [-B]补 = [A]补 + [B]补的变补 （mod 2ⁿ）💡减法变加法：减去一个数 = 加上它的相反数的补码。这样硬件只需实现加法器！
溢出判断：
- 单符号位：两个正数相加得负，或两个负数相加得正 → 溢出
- 双符号位：运算结果的两个符号位不同 → 溢出（
01正溢，10负溢） - 进位判断：最高数值位进位 ⊕ 符号位进位 = 1 → 溢出
3. 乘法运算
原码乘法
- 符号位单独处理（异或），数值部分做绝对值乘法
- 类似十进制竖式乘法：累加+移位
补码乘法（Booth算法）⭐
- 直接处理补码，无需先转原码
- 核心思想：利用相邻位的变化来决定加/减/不移位
- 适合硬件实现，高效
乘法溢出
- n位数乘n位数，结果可能2n位
- 若只保留n位，高位丢失 → 溢出
4. 除法运算
原码除法
- 符号位单独处理，数值做绝对值除法
补码除法（加减交替法）
- 直接处理补码
- 核心：根据余数符号决定加除数还是减除数
5. 标志位（条件码）
运算结果会设置标志位，供条件判断使用：
| 标志位 | 名称 | 含义 |
|---|---|---|
| ZF | 零标志 | 结果全为0 |
| SF | 符号标志 | 结果最高位（补码即符号位） |
| CF | 进位/借位标志 | 无符号数运算溢出 |
| OF | 溢出标志 | 有符号数运算溢出 |
| PF | 奇偶标志 | 结果低8位中1的个数为偶数 |
| AF | 辅助进位 | 低4位向高4位进位 |
五、浮点数的表示（IEEE 754标准）⭐⭐⭐
🔑 浮点数 = 科学计数法的二进制版：N = (-1)ˢ × 1.M × 2ᴱ⁻¹²⁷
1. 浮点数的格式
┌───┬──────────┬──────────────────────────────┐ │ S │ E │ M (尾数/有效数) │ │ 1位│ 指数位 │ 尾数位 │ └───┴──────────┴──────────────────────────────┘| 精度 | 总位数 | 符号位 | 指数位 | 尾数位 | 偏移量 |
|---|---|---|---|---|---|
| 单精度（float） | 32 | 1 | 8 | 23 | 127 |
| 双精度（double） | 64 | 1 | 11 | 52 | 1023 |
2. 规格化表示
- 尾数最高位恒为1（隐含），所以实际精度比位数多1
- 单精度：实际精度24位；双精度：实际精度53位
- 规格化范围：1 ≤ |M| < 2
3. 特殊值
| 指数(E) | 尾数(M) | 含义 |
|---|---|---|
| 全0 | 全0 | ±0 |
| 全0 | 非0 | 非规格化数（非常小的数） |
| 1~254 | 任意 | 规格化数 |
| 全1 | 全0 | ±∞（正负无穷） |
| 全1 | 非0 | NaN（非数字） |
4. 浮点数运算步骤
- 对阶：将指数较小的数调整为与较大的数相同（尾数右移）
- 尾数运算：加减
- 规格化：确保尾数在 [1, 2) 范围内
- 舍入：按规则截断或进位
- 溢出判断：阶码是否超出范围
⚠️经典陷阱：
0.1 + 0.2 ≠ 0.3（在浮点数中），因为0.1无法精确表示为二进制浮点数！
六、字符与字符串的编码
1. ASCII编码
- 7位编码，128个字符（0~127）
- 包括：控制字符（0~31）、数字、字母、标点
- 扩展ASCII：8位，256个字符（含欧洲语言符号）
2. Unicode
- 统一字符编码，覆盖全球所有语言
- UTF-8：变长编码（1~4字节），兼容ASCII，互联网主流
- UTF-16：变长编码（2或4字节），Java/C#内部使用
- UTF-32：定长4字节
3. 汉字的表示
- GB2312：6763个汉字，双字节
- GBK：21003个汉字，向下兼容GB2312
- GB18030：27484个汉字，兼容GBK
- Unicode：统一编码，CJK统一汉字
4. 字符串的存储
- C语言：以
\0结尾的字符数组 - 其他方式：长度前缀 + 字符数组
- 大端/小端：多字节字符在内存中的字节顺序
5. 大端 vs 小端 ⭐
| 方式 | 含义 | 举例（0x12345678） |
|---|---|---|
| 大端（Big-Endian） | 高位字节存放在低地址 | 12 34 56 78（人类阅读习惯） |
| 小端（Little-Endian） | 低位字节存放在低地址 | 78 56 34 12（x86架构） |
💡记忆法：大端 = 大端在前（高位在前）；小端 = 小端在前（低位在前）。x86 CPU是小端，网络传输通常大端。
七、校验码
1. 奇偶校验码
- 在数据后添加1位校验位，使1的个数为奇数（奇校验）或偶数（偶校验）
- 只能检测奇数个位错误，不能纠错
2. 海明码（Hamming Code）
- 可检测并纠正1位错误
- 核心：在2的幂次位置（1,2,4,8…）放置校验位
- 校验位覆盖特定位置的数据位
- 若需检测d位错、纠正c位错，需满足：2ʳ ≥ d + c + 1（r为校验位位数）
3. 循环冗余校验（CRC）⭐
- 用于数据传输和存储的检错
- 将数据视为多项式，除以生成多项式，余数作为校验码
- 检错能力强，能检测多位错误和突发错误
- 硬件实现简单（移位寄存器+异或门）
八、重点回顾
| 重点 | 一句话总结 |
|---|---|
| 进制转换 | 整数除R取余，小数乘R取整；二-八进制3位一组，二-十六进制4位一组 |
| 原码 | 符号位+数值位，零不唯一，加减复杂 |
| 反码 | 负数数值取反，零不唯一，需循环进位 |
| 补码 | 负数反码+1，零唯一，加减统一，符号位参与运算 |
| 移码 | 真值+偏移量，用于浮点阶码，便于比较 |
| 浮点数 | IEEE 754：符号位 + 阶码 + 尾数，注意规格化和特殊值 |
| 大小端 | 大端高位在前（网络），小端低位在前（x86） |
| 校验码 | 奇偶校验（检错）、海明码（纠错）、CRC（强检错） |
📌下章预告：我们将探索计算机的"记忆系统"——存储器层次结构。从高速昂贵的寄存器到海量便宜的磁盘，了解Cache如何让你的程序飞起来！