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一、动力学方程

  机器人的动力学公式描述如下：

式中，$\mathbf{\tau }$表示关节驱动力矩矢量；$\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},\ddot{\mathbf{q}}$分别为广义的关节位置、速度和加速度；$\mathbf{M}$为关节的空间惯量矩阵；$\mathbf{C}$为科氏力和离心力耦合矩阵；$\mathbf{G}$为重力；${\mathbf{F}}_f$为关节摩擦力。

  机器人的动力学参数包括惯性参数和摩擦参数。
  （1）惯性参数有：连杆质量$m$、相对于连杆坐标系的质心矢量$\mathbf{r}$和转动惯量矩阵$\mathbf{I}$。其中，质心矢量$\mathbf{r}$可以表示为：

式中，$r_x$、$r_y$和$r_z$分别表示质心矢量$\mathbf{r}$在连杆坐标系下三个坐标轴的分量。转动惯量矩阵$\mathbf{I}$为包含六个独立元素的二维矩阵，表示为：

式中，主对角元素为惯性矩，非主对角元素为惯性积。

  （2）机器人动力学建模中常用的摩擦模型为库伦-粘滞摩擦模型，其表达式为：

式中，$f_c$和$f_v$分别表示库伦摩擦系数和粘滞摩擦系数；$v$表示关节速度。注意：对于库伦摩擦系数的处理不同人有不同的处理，有的地方认为库伦摩擦是对称的，即当机器人关节正向旋转和反向旋转时，库伦摩擦力大小相等，方向相反，也即$f_c^{+}=f_c^{-}$；也有的地方认为库伦摩擦是非对称的，即当机器人关节正向旋转和反向旋转时，库伦摩擦力大小不相等。

二、机器人工具箱描述动力学方程

2.1 动力学参数赋值

  在机器人工具箱中，提供了如下动力学参数输入接口：
  （1）Link.m：表示连杆的质量；
  （2）Link.r：表示连杆的质心矢量；
  （3）Link.I：表示连杆的惯量矩阵；
  （4）Link.Jm：表示驱动电机的转动惯量；
  （5）Link.B：表示粘滞摩擦系数；
  （6）Link.Tc：表示库伦摩擦系数；
  （7）Link.G：表示电机齿轮传动比（默认为1）

  这里仍然以3-DOF平面机械臂为例：

%% 动力学
% RRR机械臂
clear;
close all;
clc;%               theta(z)   d(z)     a(x)     alpha(x)  
RRR_L(1) = Link([  0       0        1        0    ],'standard');
RRR_L(2) = Link([  0       0      0.8        0    ],'standard');
RRR_L(3) = Link([  0       0      0.6        0    ],'standard');% 连杆1动力学参数
RRR_L(1).m = 4.0;
RRR_L(1).r = [0.12; 0.08; 0.31];
RRR_L(1).I = [0.32 0.01 0.02;0.01 0.12 0.11;0.02 0.11 0.41];
RRR_L(1).Jm = 0.0012;
RRR_L(1).B = 0.00148;
RRR_L(1).Tc = [+0.395, -0.435];
RRR_L(1).G = 1.2;% 连杆2动力学参数
RRR_L(2).m = 15.2;
RRR_L(2).r = [-0.475; 0.097; 0.06];
RRR_L(2).I = [1.21 0.21 0.32;0.21 0.52 0.11;0.32 0.11 0.51];
RRR_L(2).Jm = 0.0048;
RRR_L(2).B = 0.00329;
RRR_L(2).Tc = [+0.462; -0.561];
RRR_L(2).G = 1.4;% 连杆3动力学参数
RRR_L(3).m = 0.6;
RRR_L(3).r = [0.01; 0.097; 0.016];
RRR_L(3).I = [0.021 0.03 0.382;0.03 0.152 0.11;0.382 0.11 0.651];
RRR_L(3).Jm = 0.0061;
RRR_L(3).B = 0.00429;
RRR_L(3).Tc = [+0.262; -0.661];
RRR_L(3).G = 1.7;three_link = SerialLink(RRR_L, 'name', '3-DOF');

  采用dyn( )函数可以查看动力学参数，如图所示：

2.2 动力学方程中的各项表示

（1）空间惯量矩阵$\mathbf{M}(\mathbf{q})$
  机器人的空间惯量是机器人各关节的位姿的函数，在不同机器人位形时具有不同的值。机器人工具箱中可以调用robot.inertia(q)函数获得空间惯量矩阵。
  例如：当3-DOF平面机械臂三个关节角度为30°、45°和60°时，其空间惯量矩阵为：

（2）科氏力和离心力耦合矩阵$\mathbf{C}(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}})$
  科氏力和离心力耦合矩阵是关节位置和速度的函数。机器人工具箱中可以调用robot.coriolis(q, qd)函数获得该耦合矩阵。
  例如：当3-DOF平面机械臂三个关节角度为30°、45°和60°，三个关节速度为10°/s、20°/s和30°/s时，其科氏力和离心力耦合矩阵为：

（3）重力矩阵$\mathbf{G}(\mathbf{q})$
  重力矩阵与机器人的位形有关，是对各关节所受重力的描述，其值不受机器人的运动的影响。机器人工具箱中可以调用robot.gravload(q, grav)函数来获得重力矩阵，其中grav自定义重力加速度向量。
  例如：当3-DOF平面机械臂三个关节角度为30°、45°和60°，重力加速度向量为$y$轴负向，即grav = [0; -9.8; 0]。重力矩阵为：

（4）摩擦力矩阵${\mathbf{F}}_f(\dot{\mathbf{q}})$
  摩擦力矩阵是由各关节的给定摩擦参数数值决定的，大小与各关节的速度有关。机器人工具箱中可以调用robot.friction(qd)函数来获得重力矩阵。
  例如：当3-DOF平面机械臂三个关节速度为10°/s、20°/s和30°/s时，其摩擦力矩阵为：

三、逆动力学分析

  机器人的逆动力学分析是在给定机器人关节位置、速度和加速度时，计算得到机器人各关节所需要的力和力矩大小。机器人工具箱中可以调用robot.rne(q, qd, qdd, grav)函数来计算逆动力学。其中，q, qd, qdd分别表示机器人关节位置、速度和加速度；grav表示自定义的重力加速度矢量。除此之外，还可以添加参数fext，表示末端执行器受到的外力和力矩$[F_x,F_y,F_z,{\tau }_x,{\tau }_y,{\tau }_z]$
  例子：让3-DOF平面机械臂按照下图所示的轨迹运动。

代码：

%% 动力学
% RRR机械臂
clear;
close all;
clc;%               theta(z)   d(z)     a(x)     alpha(x)  
RRR_L(1) = Link([  0       0        1        0    ],'standard');
RRR_L(2) = Link([  0       0      0.8        0    ],'standard');
RRR_L(3) = Link([  0       0      0.6        0    ],'standard');% 连杆1动力学参数
RRR_L(1).m = 4.0;
RRR_L(1).r = [0.12; 0.08; 0.31];
RRR_L(1).I = [0.32 0.01 0.02;0.01 0.12 0.11;0.02 0.11 0.41];
RRR_L(1).Jm = 0.0012;
RRR_L(1).B = 0.00148;
RRR_L(1).Tc = [+0.395, -0.435];
RRR_L(1).G = 1.2;% 连杆2动力学参数
RRR_L(2).m = 15.2;
RRR_L(2).r = [-0.475; 0.097; 0.06];
RRR_L(2).I = [1.21 0.21 0.32;0.21 0.52 0.11;0.32 0.11 0.51];
RRR_L(2).Jm = 0.0048;
RRR_L(2).B = 0.00329;
RRR_L(2).Tc = [+0.462; -0.561];
RRR_L(2).G = 1.4;% 连杆3动力学参数
RRR_L(3).m = 5.6;
RRR_L(3).r = [0.01; 0.097; 0.016];
RRR_L(3).I = [0.921 0.03 0.382;0.03 0.252 0.11;0.382 0.11 1.251];
RRR_L(3).Jm = 0.0061;
RRR_L(3).B = 0.00429;
RRR_L(3).Tc = [+0.262; -0.661];
RRR_L(3).G = 1.7;three_link = SerialLink(RRR_L, 'name', '3-DOF');delta_t = 0.02;
t = 0:delta_t:4;
m = length(t);theta1 = 60*sin(4*pi*t/4);
theta2 = 60*sin(2*pi*t/4);
theta3 = 30*sin(2*pi*t/4);theta1_d = 60*pi*cos(4*pi*t/4);
theta2_d = 30*pi*cos(2*pi*t/4);
theta3_d = 15*pi*cos(2*pi*t/4);theta1_dd = -60*pi*pi*sin(4*pi*t/4);
theta2_dd = -15*pi*pi*sin(2*pi*t/4);
theta3_dd = -7.5*pi*pi*sin(2*pi*t/4);q = [theta1;theta2;theta3]'*pi/180;
qd = [theta1_d;theta2_d;theta3_d]'*pi/180;
qdd = [theta1_dd;theta2_dd;theta3_dd]'*pi/180;% 关节位置、速度、加速度绘图
figure(1)
subplot(3,1,1)
plot(t, q(:,1)*180/pi, 'b')
hold on
plot(t, q(:,2)*180/pi, 'r--')
hold on
plot(t, q(:,3)*180/pi, 'm')
xlabel('time (s)', 'Interpreter', 'latex')
ylabel('$\theta$ (deg)', 'Interpreter', 'latex')
legend('$\theta_1$','$\theta_2$','$\theta_3$', 'Interpreter', 'latex')
set(gca, 'FontName','Times New Roman')subplot(3,1,2)
plot(t, qd(:,1)*180/pi, 'b')
hold on
plot(t, qd(:,2)*180/pi, 'r--')
hold on
plot(t, qd(:,3)*180/pi, 'm')
xlabel('time (s)', 'Interpreter', 'latex')
ylabel('$\dot{\theta}$ (deg)', 'Interpreter', 'latex')
legend('$\dot{\theta_1}$','$\dot{\theta_2}$','$\dot{\theta_3}$', 'Interpreter', 'latex')
set(gca, 'FontName','Times New Roman')subplot(3,1,3)
plot(t, qdd(:,1)*180/pi, 'b')
hold on
plot(t, qdd(:,2)*180/pi, 'r--')
hold on
plot(t, qdd(:,3)*180/pi, 'm')
xlabel('time (s)', 'Interpreter', 'latex')
ylabel('$\ddot{\theta}$ (deg)', 'Interpreter', 'latex')
legend('$\ddot{\theta_1}$','$\ddot{\theta_2}$','$\ddot{\theta_3}$', 'Interpreter', 'latex')
set(gca, 'FontName','Times New Roman')set(gcf, 'color',[1 1 1]);% 运动示意
figure(2)
three_link.plot(q,'trail','b');% 逆动力学
grav = [0; -9.8; 0];
tau = three_link.rne(q, qd, qdd, grav);% 关节驱动力矩
figure(3)
plot(t,tau(:,1), 'b')
hold on
plot(t, tau(:,2), 'r--')
hold on
plot(t, tau(:,3), 'm')
xlabel('time (s)', 'Interpreter', 'latex')
ylabel('$\tau$ (N/m)', 'Interpreter', 'latex')
legend('$\tau_1$','$\tau_2$','$\tau_3$', 'Interpreter', 'latex')
set(gca, 'FontName','Times New Roman')
set(gcf, 'color',[1 1 1]);

运行结果：

四、结语

  机器人工具箱还有其他的一些应用，譬如正动力学分析、视觉相关应用等，不过笔者对这些没有接触过，就不误导大家了。
  我是木头人，以上全是个人见解，有问题请大家评论区指出，大家共同进步！！