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🔥 内容介绍

一、引言

分数阶混沌系统广泛存在于众多科学与工程领域，从电子电路的信号处理到生物系统的动态模拟，其独特的动力学特性为描述复杂现象提供了有力工具。然而，准确估计分数阶混沌系统的参数是理解和应用这些系统的关键前提。基于逐步积分和响应敏感性分析的方法为参数估计难题开辟了新的解决途径，通过巧妙结合数值计算与系统响应分析，能够有效提升参数估计的精度和效率。

二、分数阶混沌系统基础

（一）分数阶微积分

（二）分数阶混沌系统特性

与整数阶混沌系统相比，分数阶混沌系统展现出更为复杂和独特的动力学行为。分数阶导数的非局部性导致系统对初始条件的敏感性增强，相空间轨迹呈现出更为丰富的形态。例如，在一些分数阶混沌电路中，通过调整分数阶的阶数，可以观察到不同程度的混沌现象，从弱混沌到强混沌的过渡，且系统的吸引子结构也会发生显著变化。这种灵活性为模拟各种自然和工程现象提供了更强大的建模能力，但也增加了参数估计的难度。

三、逐步积分法原理

（一）基本思想

逐步积分法是一种用于求解分数阶微分方程的数值方法。其核心思想是将时间域划分为一系列离散的时间步，通过逐步计算每个时间步上的系统状态，近似求解分数阶微分方程。对于分数阶混沌系统，由于分数阶导数的积分特性，逐步积分需要考虑历史时间步的信息，以准确捕捉系统的记忆效应。

（二）在参数估计中的应用

在分数阶混沌系统参数估计中，逐步积分法用于生成系统在不同参数值下的模拟响应。通过给定一组初始条件和参数猜测值，利用逐步积分法求解分数阶混沌系统的微分方程，得到系统随时间演化的状态序列。这些模拟响应将作为后续响应敏感性分析的基础数据，用于评估参数变化对系统行为的影响。

⛳️ 运行结果

📣 部分代码

parameter_a_judge=@(parameter_a)(min(parameter_a(1))>0);

load simple_fre_data.mat; % load observed data --- Tdata and Xdata

gammaT=1.414;rhob=0.5; % parameter for trust-region algorithm

parameter_a_record=parameter_a;

TR_record=[]; % recording the parameter_a during trust region

x_cal_start=x_cal_data(1:end-1,:);

x_cal_end=x_cal_data(2:end,:);

Tstart=Tdata(1:end-1);

Tend =Tdata(2:end);

Psize=size(x_cal_data);

Psize=[Psize(1),18];

% options=odeset('RelTol',1e-6,'AbsTol',1e-8); % error tolerence setting

%% Response sensitivity iteration

Nmax=1000; % maximum number for response sensitivity iteration

Ntr=20; % maximum number for trust region iteration

%% response sensitivity Solution by ode45

NT=length(x_cal_data(:,1))-1;

for iii=1:Nmax

% compute response and response sensitivity for each incremental

Etol=1e-10; % Relative error tolerance for convergence of the RS algorithm

%%

x_cal_iden=zeros(Psize(1),Psize(2));

x_cal_iden(1,1:3)=x_cal_data(1,1:3);

for jjj=1:NT

x_cal_iden_j=cal_Incommensurate_PMSM_step(parameter_a,[Tstart(jjj),Tend(jjj)],[x_cal_start(jjj,1:3),zeros(1,6)]',jjj);

x_cal_iden(jjj+1,:)=x_cal_iden_j;

end

%% SSSΪ Ӧ Ⱦ

SSS1=[x_cal_iden(2:end,4);x_cal_iden(2:end,5);x_cal_iden(2:end,6)];

SSS2=[x_cal_iden(2:end,7);x_cal_iden(2:end,8);x_cal_iden(2:end,9)];

SSS3=[x_cal_iden(2:end,10);x_cal_iden(2:end,11);x_cal_iden(2:end,12)];

SSS4=[x_cal_iden(2:end,13);x_cal_iden(2:end,14);x_cal_iden(2:end,15)];

SSS5=[x_cal_iden(2:end,16);x_cal_iden(2:end,17);x_cal_iden(2:end,18)];

SSS=[SSS1,SSS2,SSS3,SSS4,SSS5];

% determine initial lambda by L-curve method

dR1=x_cal_end(:,1)-x_cal_iden(2:end,1);

dR2=x_cal_end(:,2)-x_cal_iden(2:end,2);

🔗 参考文献

[1]周翕.不确定系统的分数阶鲁棒控制研究[D].中国科学技术大学,2017.

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