[LeetCode] 6.N字形变换

一、题目描述

将一个给定字符串 s 根据给定的行数 numRows ，以从上往下、从左到右进行 Z 字形排列。

比如输入字符串为 "PAYPALISHIRING" 行数为 3 时，排列如下：

P   A   H   N
A P L S I I G
Y   I   R

之后，你的输出需要从左往右逐行读取，产生出一个新的字符串，比如："PAHNAPLSIIGYIR"。

请你实现这个将字符串进行指定行数变换的函数：

string convert(string s, int numRows);

示例 1：

输入：s = "PAYPALISHIRING", numRows = 3
输出："PAHNAPLSIIGYIR"

示例 2：

输入：s = "PAYPALISHIRING", numRows = 4
输出："PINALSIGYAHRPI"
解释：
P     I    N
A   L S  I G
Y A   H R
P     I

示例 3：

输入：s = "A", numRows = 1
输出："A"

提示：

1 <= s.length <= 1000
s 由英文字母（小写和大写）、',' 和 '.' 组成
1 <= numRows <= 1000

二、题解

2.1 方法一：利用二维矩阵模拟

设 n 为字符串 s 的长度， $r = n u m R o w s$ 。对于 $r = 1$ （只有一行）或者 $r \geq n$ （只有一列）的情况，答案与 s 相同，我们可以直接返回 s。对于其余情况，考虑创建一个二维矩阵，然后在矩阵上按 Z 字形填写字符串 s，最后逐行扫描矩阵中的非空字符，组成答案。

根据题意，当我们在矩阵上填写字符时，会向下填写 r 个字符，然后向右上继续填写 $r - 2$ 个字符，最后回到第一行，因此 Z 字形变换的周期 $t = r + r - 2 = 2 r - 2$ ，每个周期会占用矩阵上的 $1 + r - 2 = r - 1$ 列。

因此我们有 $\lceil \frac nt \rceil$ 个周期（最后一个周期视作完整周期），乘上每个周期的列数，得到矩阵的列数 $\lceil \frac nt \rceil·(r-1)$ 。

创建一个 $r$ 行 $c$ 列的矩阵，然后遍历字符串 $s$ 并按 Z 字形填写。具体来说，设当前填写的位置为 $(x, y)$ ，即矩阵的 $x$ 行 $y$ 列。初始 $(x, y) = (0, 0)$ ，即矩阵左上角。若当前字符下标 $i$ 满足 $i \cdot m o d t < r - 1$ ，则向下移动，否则向右上移动。

填写完成后，逐行扫描矩阵中的非空字符，组成答案。

Python

 def convert(self, s: str, numRows: int) -> str:
    n, r = len(s), numRows
    if r == 1 or r >= n:
        return s
    t = r * 2 - 2
    c = (n + t - 1) // t * (r - 1)
    mat = [[''] * c for _ in range(r)]
    x, y = 0, 0
    for i, ch in enumerate(s):
        mat[x][y] = ch
        if i % t < r - 1:
            x += 1  # 向下移动
        else:
            x -= 1
            y += 1  # 向右上移动
    return ''.join(ch for row in mat for ch in row if ch)

C++

string convert(string s, int numRows) 
{
    int n = s.length(), r = numRows;
    if (r == 1 || r >= n) 
    {
        return s;
    }
    int t = r * 2 - 2;
    int c = (n + t - 1) / t * (r - 1);
    vector<string> mat(r, string(c, 0));
    for (int i = 0, x = 0, y = 0; i < n; ++i) 
    {
        mat[x][y] = s[i];
        if (i % t < r - 1) 
        {
            ++x; // 向下移动
        } else {
            --x;
            ++y; // 向右上移动
        }
    }
    string ans;
    for (auto &row : mat) 
    {
        for (char ch : row) 
        {
            if (ch) 
            {
                ans += ch;
            }
        }
    }
    return ans;
}

复杂度分析

时间复杂度： $O (r \cdot n)$ ，其中 $r = n u m R o w s$ ，n 为字符串 s 的长度。时间主要消耗在矩阵的创建和遍历上，矩阵的行数为 r，列数可以视为 $O (n)$ 。
空间复杂度： $O (r \cdot n)$ 。矩阵需要 $O (r \cdot n)$ 的空间。

2.2 方法二：压缩矩阵空间

方法一中的矩阵有大量的空间没有被使用，能否优化呢？

注意到每次往矩阵的某一行添加字符时，都会添加到该行上一个字符的右侧，且最后组成答案时只会用到每行的非空字符。因此我们可以将矩阵的每行初始化为一个空列表，每次向某一行添加字符时，添加到该行的列表末尾即可。

Python

 def convert(self, s: str, numRows: int) -> str:
    r = numRows
    if r == 1 or r >= len(s):
        return s
    mat = [[] for _ in range(r)]
    t, x = r * 2 - 2, 0
    for i, ch in enumerate(s):
        mat[x].append(ch)
        x += 1 if i % t < r - 1 else -1
    return ''.join(chain(*mat))

C++

string convert(string s, int numRows) 
{
    int n = s.length(), r = numRows;
    if (r == 1 || r >= n) 
    {
        return s;
    }
    vector<string> mat(r);
    for (int i = 0, x = 0, t = r * 2 - 2; i < n; ++i) 
    {
        mat[x] += s[i];
        i % t < r - 1 ? ++x : --x;
    }
    string ans;
    for (auto &row : mat) 
    {
        ans += row;
    }
    return ans;
}

复杂度分析

时间复杂度： $O (n)$ 。
空间复杂度： $O (n)$ ，压缩后的矩阵需要 $O (n)$ 的空间。。

2.3 方法三：直接构造

我们来研究方法一中矩阵的每个非空字符会对应到 s 的哪个下标（记作 $i d x$ ），从而直接构造出答案。

由于 Z 字形变换的周期为 $t = 2 r - 2$ ，因此对于矩阵第一行的非空字符，其对应的 $i d x$ 均为 $t$ 的倍数，即 $i d x \equiv 0 (m o d t)$ ；同理，对于矩阵最后一行的非空字符，应满足 $i d x \equiv r - 1 (m o d t)$ 。

对于矩阵的其余行（行号设为 $i$ ），每个周期内有两个字符，第一个字符满足 $i d x \equiv i (m o d t)$ ，第二个字符满足 $i d x \equiv t - i (m o d t)$ 。

Python

 def convert(self, s: str, numRows: int) -> str:
    n, r = len(s), numRows
    if r == 1 or r >= n:
        return s
    t = r * 2 - 2
    ans = []
    for i in range(r):  # 枚举矩阵的行
        for j in range(0, n - i, t):  # 枚举每个周期的起始下标
            ans.append(s[j + i])  # 当前周期的第一个字符
            if 0 < i < r - 1 and j + t - i < n:
                ans.append(s[j + t - i])  # 当前周期的第二个字符
    return ''.join(ans)

C++

string convert(string s, int numRows) 
{
    int n = s.length(), r = numRows;
    if (r == 1 || r >= n) 
    {
        return s;
    }
    string ans;
    int t = r * 2 - 2;
    for (int i = 0; i < r; ++i) 
    { // 枚举矩阵的行
        for (int j = 0; j + i < n; j += t) 
        { // 枚举每个周期的起始下标
            ans += s[j + i]; // 当前周期的第一个字符
            if (0 < i && i < r - 1 && j + t - i < n) 
            {
                ans += s[j + t - i]; // 当前周期的第二个字符
            }
        }
    }
    return ans;
}