MATLAB的编程与应用，匿名函数、嵌套函数、蒙特卡洛法的掌握与使用

目录

1.匿名函数

1.1.匿名函数的定义与分类

1.2.匿名函数在积分和优化中应用

2.嵌套函数

2.1.嵌套函数的定义与分类

2.2.嵌套函数彼此调用关系

2.3.嵌套函数在积分和微分中应用

3.微分和积分

4.蒙特卡洛法

4.1.圆周率的模拟

4.2.计算N重积分（均匀分布）

4.3.计算N重积分（等序列分布）

1.匿名函数

1.1.匿名函数的定义与分类

匿名函数（Anonymous function）

定义：f = @(X)expr

x为指定的函数的自变量，Expr为具体的函数表达式。

f = @(x) x.^2;
ff = f(1:10)
ff =
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
g = @(x,y) x.^2 + y.^2;
gg = g(1:4,2:5)
gg =
5 13 25 41

单变量匿名函数

定义：f =@(x) expr

  1. x为指定函数的自变量，Expr为具体的函数表达式

f = @(x) x.^2

  1. 含有参数的匿名函数，当参数已知的时候

a = 10, b = 20;
f = @(x) a*x.^2+b;
f(1:5)
ans =
​
    30    60   110   180   270

  1. 多变量匿名函数

g = @(x,y) x.^2+y.^2;
% 含有参数的匿名函数，当参数已知的时候
a = 1,b = 2;
f = @(x,y) a*x.^2+b*y;
f(1:5,2:6)
ans =
​
     5    10    17    26    37

多重匿名函数

只有一个@符号的为单重匿名函数；有多个@符号的为二重、多重匿名函数，在参数传递方面非常方便。例：简单的二重匿名函数

f = @(a,b) @(x) a*x.^2+b*x+2;
f(2,3)
ans = @(x) a*x.^2+b*x+2
ans(3)
ans = 29

这个段代码有一点问题，运行结果是17

改成下面的代码才是正确的输出：29

​

多重匿名函数

f = @(a) a(b,c) @(x) a*x.^2+b*x+c;

匿名函数在解方程中的应用

匿名函数可以非常方便地表达所求方程，并提供fzero等函数调用。例1：求下列方程的根

uTools_1697631535815

f = @(x) exp(x) + x.^2 + x.^(sqrt(x)) - 100;
x0 = fzero(f,3)
x0 =
 4.1635
f(x0)
ans =
 2.8422e-14

匿名函数在解方程中的应用

不同参数一一求解对应方程的根时，调用arrayfun函数。例1续：a = [0, 0.01, 0.02, ...., 2]求下列方程相应的根，画出a和相应的x的图像。

f = @(a) @(x) exp(x) + x^a + x^(sqrt(x)) - 100;
aa = 1:0.01:2;
y = arrayfun(@(a) fzero(f(a), 4), aa);
​
%运用arrayfun函数批量处理
​
plot(aa, y)
xlabel('$a$','interpreter','latex','fontsize',15)
ylabel('$x$','interpreter','latex','fontsize',15)
​
title('$e^x+x^a+x^{\sqrt{x}}=100$','interpreter','latex','fontsize',15)

uTools_1697632474217

匿名函数在表示隐函数方面的应用

隐函数一般无数学上的显式表示，运用matlab，对自变量x运用数值解给出因变量y。

例1：显式表示下列y关于x的隐函数

uTools_1697632645086

y = @(x) fzero(@(y)(exp(y)+x^y)^(1/y)-x^2*y,1);
y(1)
ans =
    2.7779

希望接受向量形式的输入，结合arrayfun函数

y = @(x) arrayfun(@(xx)fzero(@(y)(exp(y)+xx^y)^(1/y)-xx^2*y,1),x);
y(1:5)
ans =
    2.7779    1.1055    0.7759    0.6284    0.5425

例2：显式表示Z关于x，y的函数

uTools_1697634156004

接受向量形式的输入，结合arrayfun、fzero函数

z = @(x,y) fzero(@(z)z-sin((z*x-0.5*)^2+2*x*y^2-z/10)*exp(-((x-0.5-exp(-y+z))^2+y^2-z/5+3)),rand);
[X,Y] = meshgrid(-1:0.1:7,-2:0.1:2);
Z = arrayfun(@(x,y) z(x,y), X, Y)
surf(X, Y, Z)
​
%坐标轴和函数标题
xlabel('$x$','interpreter','latex','fontsize',15)
ylabel('$y$','interpreter','latex','fontsize',15)
zlabel('$z$','interpreter','latex','fontszie',15)
​
title('$z=\sin((zs-0.5)^2+zxy^2-z/10)\exp(-((x-0.5-\exp(-y+z))^2+y^2-z/5+3))$','interpreter','latex','fontsize',15)

uTools_1697635229411

1.2.匿名函数在积分和优化中应用

匿名函数在求积分区域中的应用

在对称区间积分，求积分区间[-t,t]，使得

uTools_1697635327807

z=fzero(@(u) 0.99*pi/2-quadl(@(x)sin(x).^2./x.^2, 0, u), 1)
z =
   32.3138

匿名函数在数值积分中的应用

求下列函数的三阶导数在区间[0,1]上的图像

uTools_1697635579907

syms x;
f=(x+tan(x))^sin(x);
c=diff(f,3);
t=0:0.01:1;
f3=eval(['@(x)' vectorize(c)]);
plot(t,f3(t))
xlabel('x')
ylabel('y')
title('(x+tan(x))^{sin(x)}三阶导数图像')

三节导函数的图像

uTools_1697636074867

x=0:0.01:1;
y=(x+tan(x)).^sin(x);
plot(x,y)
title('(x+tan(x))^{sin(x)}函数图像')

函数图像

uTools_1697636215608

2.嵌套函数

2.1.嵌套函数的定义与分类

嵌套函数nested-function

嵌套函数的优点

  1. 可以方便解决变量共享问题；

  2. 复杂的表达式中涉及的参数传递；

  3. 编写GUI（图形用户界面）时，参数传递问题。

嵌套在函数体内部的函数，嵌套函数可以方便的实现变量共享，可以出现在函数体内部任意位置，除if/else，while,switch等结构语句中。嵌套函数在尾末必须加上end。

例1：嵌套函数简单应用（内外变量共享)

function r = MyTestNestedFun(input)
a = 5;
c = sin(input)+tan(input);
function y = nestedfun(b)
y = a*c+b;
end
r = nestedfun(5);
end

例2：嵌套函数的变量作用域（内部调用外部）

function r = NestedFunctionVarScopeDemo(a)
b = a+1;
    function Nested1
        c = b+1;
        function Nested11
            d = c+a;
        end
        Nested11;
    end
Nested1

例3：嵌套函数的变量作用域2（未调用时不运行）

function r = NestedFunctionVarScopeDemo2(a)
b = a+1;
    function Nested1
        c = b+1
        function Nested11
            d = c+a;
        end
    end
Nested1
e = c1
r = d;
end

例4：嵌套函数的变量作用域3（无嵌套关系，不能共享）

function r = NestedFunctionVarScopeDemo3(a)
b = a+1;
    function Nested1
        c = b+1;
        c1 = 10;
        Nested2;
        c2 = d^2; %这一步有问题
    end
Nested1
r = c2
end

2.2.嵌套函数彼此调用关系

例5：父函数与子函数（父调用子，不能调用孙）

function r = NestedFunctionCallDemo1(a)
b = a+1;
    function c1 = Nested1(x)
        c = b+1;
        c1 = 10+c*x;
        function d = Nested11
            d = c+a;
        end
    end
c1 = Nested1(1);
r = Nested11;
end

例6：父函数与子函数（子调用父，孙调用爷）

function NestedFunctionCallDemo2(flag)
switch flag
    case 1
        disp('flag = 1')
        return;
    case 2
        disp('flag = 2')
        return;
    case 3
        disp('flag = 3')
        return
    otherwise
        disp(['flag = ', num2str(flag)]);
        return
    end
​
function NestedFunctionCallDemo2(flag)
    % 续
    function NestedFun1
        NestedFunctionCallDemo2(1);%子调用父;
        NestedFun2
        function NestedFun2
            NestedFunctionCallDemo2(3);%孙调用爷;
        end
    end
end

例7：父函数与子函数（子调用叔父）

function NestedFunctionCallDemo3
Nested1(5)
    function Nested1(x)
        disp(['Nested1执行，输入：', num2str(x)])
        Nested2(6)
        function Nested11(xx)
            disp(['Nested11执行，输入：',num2str(xx)]);
        end
    end
    
    function Nested2(y)
        disp(['Nested2执行，输入：',num2str(y)])
        function Nested22(yy)
            disp(['Nested22执行，输入：',num2str(yy)]);
        end
    end
end

例8：父函数与子函数（孙调用大爷，不能用堂伯堂哥）

function NestedFunctionCallDemo4
Nested1(5)
    function Nested1(x)
        disp(['Nested1执行，输入：', num2str(x)])
        Nested11(6)
        function Nested11(xx)
            disp(['Nested11执行，输入：',num2str(xx)]);
            Nested2(pi)
            Nested22(10);
        end
    end
    function Nested2(y)
        disp(['Nested2执行，输入：', num2str(y)])
        Nested22(pi*pi)
        function Nested22(yy)
            disp(['Nested22执行，输入：',num2str(yy)]);
        end
    end
end

父函数与子函数：

嵌套：父亲，儿子，孙子

不同嵌套：亲属关系

父子互助，不能求孙

子可求父、伯、大爷、爷，不能求侄儿

2.3.嵌套函数在积分和微分中应用

例1：求积分，已知a，e和l，求\beta_0?

uTools_1697885885102

function sol = example541(a,e,l)
    function fun(beta)
        f  =a.*(1-e.^2)./(1-e.^2.*sin(beta).^2).^(3/2);
    end
    
    function g = fun(beta0)
        g = quadl(@fun1,0,beta0)-1;
    end
    
sol = fzero(@fun2,3);
end
sol = example541(20,0.6,6)

例2：

uTools_1697902867497

function m = Findm
w = [pi/2, pi, pi*1.5]
N = [pi/2-1, -2, -1.5*pi-1];
function y = ObjecFun(m)
    y = (quadl(@(t) t.^m.*cos(t), 0, w(1))^2 + (quadl(@(t).^m.*cos(t), 0, w(2))^2 + (quadl(@(t).^m.*cos(t), 0, w(3))^2;
end
m = fminbnd(@ObjecFun, 0, 2);
end
​
% 第二段代码
function m = Findm
w = [pi/2, pi, pi*1.5];
N = [pi/2-1, -2, -1.5*pi-1];
function y = ObjecFun(m)
s = @(w)arrayfun(@(ww) quadl(@(t) t.^m.*cos(t), t, ww), w);
y = sum((s(w)-N).^2);
end
m = fminbnd(@ ObjecFun, 0, 2);
end

例3：求微分方程在[0, 5]范围的解，a为参数

uTools_1697905917640

function example545(a)
tspan = [0,5]; % 变量求解区间
y0 = [1,0]; % 初值
[t,y] = ode45(@tfys, tspan, y0); % 调用ode45求解方程
figure;
plot(t, y(:,1),'k'); %画函数y(t)的曲线
hold on;
plot(t,(:,2), 'k:'); %画函数y(t)导数的曲线
set(gca,'fontsize',12); % 设置当前坐标轴字体大小
xlabel('\itt','fontsize',16); %标注x轴
ylabel('\ity','fontsize',16); %标注y轴
​

uTools_1697906579569

function example545(a)
%嵌套函数定义微分方程组
    function dy = tfys(t,y)
        dy(1,1) = y(2); %对应于例子中方程组第一个方程
        dy(2,1) = 3*sin(a*t)-4*y(1);%对应于例子中方程组第二个方程
    end
end

3.微分和积分

敬请期待

4.蒙特卡洛法

4.1.圆周率的模拟

例1：蒲丰投针问题

18世纪，蒲丰提出以下问题：设我们有一个以平行且等距木纹铺成的地板（如图），现在随意抛一支长度比木纹之间距离 小的针，求针和其中一条木纹相交的概率。并以此概率，布丰提出的一种计算圆周率的方法——随机投针法。这就是蒲丰投针问题（又译“布丰投针问题”）

uTools_1698164362920

证明：由于向桌面投针是随机的，所以用二维随机变量（X,Y）来确定它在桌上的具体位置。设X表示针的中点到平行线的的距离，Y表示针与平行线的夹角，如果x<l/2sin(y)时，针与直线相交。

1698421266060

并且X在服从均匀分布，Y在服从均匀分布，XY相互独立，由此可以写出（X，Y）的概率密度函数

1698421308929

因此所求概率

1698421340451

Monte Carlo方法是计算机模拟的基础，它的名字来源于世界著名的赌城——摩纳哥的蒙特卡洛， 其历史起源于 1777 年法国科学家蒲丰提出的一种计算圆周π 的方法——随机投针法，即著名的蒲丰投针问题。

Monte Carlo方法的基本思想是首先建立一个概率模型，使所求问题的解正好是该模型的参数或其他有关的特征量． 然后通过模拟一统计试验， 即多次随机抽样试验 （确定 m和 n） ，统计出某事件发生的百分比。只要试验次数很大，该百分比便近似于事件发生的概率．这实际上就是概率的统计定义。利用建立的概率模型，求出要估计的参数。蒙特卡洛方法属于试验数学的一个分支。

MATLAB语言编程实现：1）

l = 1; a = 2;n = 10000;m = 0;
for k = l : n
x = unifrnd(0, a/2); y = unifrnd(0, pi/2);
    if x < l/2*sin(y)
        m=m+1;
    end
end
p=m/n;pi_m=1/p
pi_m=3.2584

2)

l=1;a=2;n=10000;m=0;
x=unifrnd(0,a/2,1,n);
y=unifrnd(0,pi/2,1,n);
[gs,wz]=find(x<l/2*sin(y));
m=sum(gs);
p=m/n;pi_m=1/p
pi_m=3.1636

4.2.计算N重积分（均匀分布）

原理：用蒙特卡洛法计算N重积分积分：设D为n维空间Rn的一个区域,f(x)∈D Rn→R,区域D上的n 重积分用下式表示：

1698423636949

可以认为 I=(区域D的测度) X (函数f的期望)。基本的蒙特卡洛法就是找一个超立方体（测度已知，为Mc）包含区域D，在D内随机生成n（n一般足够大）个均匀分布的点，统计落入区域D的点，假设有m个。

则区域D的测度

1698423873975

函数f的期望

1698423895394

积分为

1698424026273

例1：用蒙特卡洛法计算积分

1698424914235

%构造被积函数，x为长为4的列向量或者矩阵（行数为4）。x的每一列表示4维空间中的一个点
f = @(x) exp(prod(x));
n = 10000;
X = rand(4,n); % 随机生成n个4维单位超立方体内的点
I = sum(f(x))/n % 用基本的蒙特卡洛法估计积分值
I =1.069245225746442

例2:用蒙特卡洛法计算积分

1698425193719

f = @(x) prod(x);n = 100000;% 随机均匀积分区域的点
x1 = unifrnd(1,2,1,n);x2 = unifrnd(1,4,1,n);
x3 = unifrnd(1,16,1,n);
ind = (x2>=x1)&(x2<=2*x1)&(x3<=2*x1.*x2)&(x3>=x1.*x2); % 积分区间
X = [x1;x2;x3];
I = (4-1)*(16-1)*sum(f(X(:,ind)))/n
I = 1.791951576008592e+02

4.3.计算N重积分（等序列分布）

在区间[a,b]中的一个(确定性)点列x1,x2,... ,若对所有的有界黎曼(Riemann)可积函数f(x),均有

1698425593926

则称该点列在[a,b]中是等分布的。令(ξ)表示ξ的小数部分,即(ξ)=ξ一[ξ],这里[ξ]表示不超过ξ的最大整数。

定理6.1 若θ为一个无理数 ,则数列为xn= (nθ), n =1,2 ,... ,在[0,1]中是等分布的。

对于一般的区间[a,b],可以令un=xn (b-a)+a来得到[a,b]中等分布的点列。对于s重积分,一般是挑选s 个对有理数线性对立的无理数,来得到包含积分区域D的超长方体内的均匀分布的点列。[uai, ubi ],…得到用等分布序列蒙特卡洛法计算的积分的近似值:

1698426112580

例3：用等序列蒙特卡洛法计算例1的积分

1698424914235

f = @(x) exp(prod(x)); n = 10000;
% 选取对有理数独立的无理数sqrt(2)，sqrt(3)，sqrt(6)/3，sqrt(10)来分成等分布序列
x = bsxfun(@times, repmat(1:n,4,1),[sqrt(2);sqrt(3);sqrt(6)/3;sqrt(10)]);
x = mod(x,1);%对1取余运算，即得小数部分
I = sum(f(x))/n %
I = 1.069297245824625

例4：用等序列蒙特卡罗法计算积分

1698426480227

包含积分区域的超长方体：

1698426509434

选取对有理数独立的无理数

1698426529613

来生成等分布序列,matlab程序为：

f = @(x) sin(x(1,:).*exp(x(2,:).*sqrt(x(3,:))))+x(4,:).*x(5,:);
n = 10000000;
x = bsxfun(@times,repmat(1:n.5,1),[sqrt(2);sqrt(3);sqrt(6)/3;sqrt(10);sqrt(19)]);
x = mod(x,1);
% 一下变换，使得区间(0,1)上的等分布序列变到各层积分区间上去
BminusA = diff([0.5 sin(exp(1))/2 sin(exp(1))/4])
x(2:end,:) = bsxfun(@times,x(2:end,:),BminusA);

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关键词&#xff1a;智慧城市解决方案&#xff0c;数据中台解决方案&#xff0c;智慧城市建设&#xff0c;数据中台技术架构&#xff0c;数据中台建设 一、智慧城市数据中台建设背景 智慧城市数据中台是在城市数字化转型和智能化升级的背景下提出的&#xff0c;旨在实现城市数…
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ABAQUS分析步笔记

ABAQUS分析步笔记

定义原则&#xff1a; 每个step的所有边界条件&#xff0c;载荷条件累加构成本step的仿真效果&#xff1b; step2需要在step1的状态基础上进行载荷运动等限定时&#xff0c;需要确保在step2中传递了step1的想要保留的特征&#xff0c;如&#xff1a; 1、BC-1 这里的BC-1的固…
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积极应对云网络安全

积极应对云网络安全

以下是 IT 领导者需要了解的内容&#xff0c;才能在云网络安全方面占据上风。 如果您的组织尚未主动解决云网络安全问题&#xff0c;则将面临灾难的风险。等待攻击发生根本没有意义。 主动云安全会采取积极措施来发现潜在威胁并在网络攻击发生之前阻止网络攻击。 这是通过持…
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java 继承和多态 (图文搭配，万字详解！！)

java 继承和多态 (图文搭配，万字详解！！)

目录 1.继承 1.1 为什么需要继承 1.2 继承概念 1.3 继承的语法 1.4 父类成员访问 1.4.1 子类中访问父类的成员变量 1.4.2 子类中访问父类的成员方法 1.5 super关键字 1.6 子类构造方法 1.7 super和this 1.8 再谈初始化 1.9 protected 关键字 1.10 继承方式 1.11 f…
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OpenCV C++ 图像处理实战 ——《多二维码识别》

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OpenCV C++ 图像处理实战 ——《多二维码识别》 一、结果演示二、zxing库配置2.1下载编译三、多二维码识别3.1 Method one3.1.1 源码3.2 Method two3.2.1 源码四、源码测试图像下载总结一、结果演示 </
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第 117 场 LeetCode 双周赛题解

第 117 场 LeetCode 双周赛题解

A 给小朋友们分糖果 I 动态规划&#xff1a;设 p [ k ] [ i ] p[k][i] p[k][i] 为将 i i i 个糖果分给 k k k 个小朋友的方案数&#xff0c;先求 p [ 2 ] [ i ] p[2][i] p[2][i] &#xff0c;再求 p [ 3 ] [ n ] p[3][n] p[3][n] class Solution { public:using ll long …
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基于Python+OpenCV+SVM车牌识别系统-车牌预处理系统

基于Python+OpenCV+SVM车牌识别系统-车牌预处理系统

欢迎大家点赞、收藏、关注、评论啦 &#xff0c;由于篇幅有限&#xff0c;只展示了部分核心代码。 文章目录 一项目简介简介系统流程系统优势 二、功能三、系统四. 总结 一项目简介 ## PythonOpenCVSVM车牌识别系统介绍 简介 PythonOpenCVSVM车牌识别系统是一种基于计算机视…
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【C++】this指针讲解超详细！！！

【C++】this指针讲解超详细！！！

&#x1f490; &#x1f338; &#x1f337; &#x1f340; &#x1f339; &#x1f33b; &#x1f33a; &#x1f341; &#x1f343; &#x1f342; &#x1f33f; &#x1f344;&#x1f35d; &#x1f35b; &#x1f364; &#x1f4c3;个人主页 &#xff1a;阿然成长日记 …
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postman接口自动化测试

postman接口自动化测试

Postman除了前面介绍的一些功能&#xff0c;还有其他一些小功能在日常接口测试或许用得上。今天&#xff0c;我们就来盘点一下&#xff0c;如下所示&#xff1a; 1.数据驱动 想要批量执行接口用例&#xff0c;我们一般会将对应的接口用例放在同一个Collection中&#xff0c;然…
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Dubbo从入门到上天系列第五篇：Dubbo3与JDK17不兼容问题展示

Dubbo从入门到上天系列第五篇：Dubbo3与JDK17不兼容问题展示

文章目录 一&#xff1a;JDK 与 Dubbo版本对应问题说明 1&#xff1a;问题1 2&#xff1a;问题2 二&#xff1a;Spring与JDK版本对应关系 1&#xff1a;对应关系详图 2&#xff1a;JDK与Major对应关系图 大神链接&#xff1a;作者有幸结识技术大神孙哥为好友&#xff0c…
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