计算机中的浮点数运算

计算机中的浮点数

  计算机中以固定长度存储浮点数的方式,造成了浮点数运算过程容易产生上溢和下溢。以float32为例, 其标记位占1bit,指数位占8bit,小数部分占23bit
在这里插入图片描述

经典下溢场景

  不满足精度导致截断误差

#include <iostream>
#include <iomanip>
using namespace std;
int main() {
    float a = 1.f;
    float eps = 1e-8f;
    float c = a + eps;
    cout << setprecision(16) << a << "+" << eps << "=" << c << endl;
    return 0;
}

微小的误差很容易被放大

  这里以二元一次方程的求根为例
   a x 2 + b x + c = 0 ax^{2}+bx+c=0 ax2+bx+c=0
  根据基础数学知识,你会给出这样一个解决方案
   x 1 , 2 = − b ± b 2 − 4 a c 2 a x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a} x1,2=2ab±b24ac
  由此设计程序

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;

int main() {
    float a, b, c;
    float temp, root, r1, r2;
    cout << "该程序用于求一元二次方程ax^2+bx+c=0的解" << endl;
    cout << "请依次输入a b c的值(a不要为0)" << endl;
    cin >> a >> b >> c;
    temp = b * b - 4 * a * c;
    root = sqrt(temp);
    if (temp < 0) {
        cout << "改方程无解\n";
        return -1;
    }
    r1 = (-b + root) / 2.0 / a;
    r2 = (-b - root) / 2.0 / a;
    cout << "一元二次方程的解为:" << r1 << " , " << r2 << endl;
    return 0;
}

  使用这段程序输入 0.01 , 1000 , 1 0.01,1000,1 0.01,1000,1
  输出 − 0.00305176 , − 100000 -0.00305176 , -100000 0.00305176,100000
  而保留小数点后六位有效数字应该是 − 0.001000 , − 99999.990000 -0.001000,-99999.990000 0.001000,99999.990000
  此时,第一项的相对误差为百分之两百,而第二项的相对误差为千万分之一。
  显然,两个相近的数相减会使得运算后的有效位数变少,也就是在 a , c a,c a,c的值很小时, $ -b + \sqrt {b^2-4ac}$ 这一操作过后,使得实际结果的有效位变低了(或者说引入了较大的误差),并且这个误差会在后续的运算中被放大。
  这时可以通过数学手段减少误差
  既然 x 1 , 2 = − b ± b 2 − 4 a c 2 a x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a} x1,2=2ab±b24ac
  分子分母同时乘以 − b − b 2 − 4 a c , − b + b 2 − 4 a c -b - \sqrt {b^2-4ac},-b + \sqrt {b^2-4ac} bb24ac ,b+b24ac 可得
  $x_{1} = \frac{2c}{-b - \sqrt {b^2-4ac}} , x_{2} =\frac{2c}{-b + \sqrt {b^2-4ac}} $
  根据b 的正负性,两个求根公式各取一半得到新的算法
  新算法的结果为 − 0.001 , − 10000 -0.001 , -10000 0.001,10000

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;

int main() {
    float a, b, c;
    float temp, root, r1, r2;
    cout << "该程序用于求一元二次方程ax^2+bx+c=0的解" << endl;
    cout << "请依次输入a b c的值(a不要为0)" << endl;
    cin >> a >> b >> c;
    temp = b * b - 4 * a * c;
    root = sqrt(temp);
    if (temp < 0) {
        cout << "改方程无解\n";
        return -1;
    }

    if (b > 0) {
        r1 = 2 * c / (-b - root);
        r2 = (-b - root) / 2 / a;
    }
    else if (b < 0) {
        r1 = (-b + root) / 2 / a;
        r2 = 2 * c / (-b + root);
    }
    else {
        temp = c / a;
        r1 = sqrt(-temp);
        r2 = -sqrt(-temp);
    }
    cout << "一元二次方程的解为:" << r1 << " , " << r2 << endl;
    return 0;
}

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