[PyTorch][chapter 62][强化学习-基本概念]

前言：

强化学习概念
马尔科夫决策
Bellman 方程
格子世界例子

一强化学习

强化学习必须在尝试之后，才能发现哪些行为会导致奖励的最大化。
当前的行为可能不仅仅会影响即时奖赏，还有影响下一步奖赏和所有奖赏

强化学习五要素如下：

1.2 强化学习流程

1：产生轨迹(trajectory）

2：策略评估(policy-evaluate)

3：策略提升（policy-improve）

这里重点讲一下产生轨迹：

当前处于某个state 下面，

按照策略选择 action = $A_t= \pi(s_t)$

根据新的state 给出 reward: $R_{t+1}=f(s_{t+1})$

最后产生了轨迹链

二马尔科夫决策

2.1 马尔科夫决策要求：

   1：能够检测到理想的状态
   2：可以多次尝试
   3：系统的下个状态只与当前信息有关，与更早的状态无关。
决策过程中还可和当前采取的动作有关.

2.2 马尔科夫决策五要素

S: 状态集合 states
A: 动作集合 actions
P: 状态转移概率 $P_{S_t \to s_{t+1}}^a$
R: 奖励函数（reward function) ，agent 采取某个动作后的及时奖励
r: 折扣系数意味当下的reward 比未来反馈更重要

$\sum_{t=0}^{\infty }r^t R(s_t)$

$r \in (0,1]$

2.3 主要流程

1: Agent 处于状态 $s_0$

2: 按照策略选择动作 $a_0$

3：执行该动作后,有一定的概率转移到新的状态 $p_{s_0\rightarrow s_1}^a$

2.4 价值函数

$V(s)=E_{\pi}(\sum_{t=1}^{T} r_t|S_0=s)$

当前时刻处于状态s,未来获得期望的累积奖赏

分为两种： state 价值函数 state-action 价值函数

最优价值函数：

不同策略下, 累积奖赏最大的 $v_{*}=max_{\pi}v_{\pi}(x)$

2.5 策略 policy

当前状态s 下,按照策略,要采用的动作

$action=\pi(s)$

三 Bellman 方程

4.1 状态值函数为：

$V_{T}^{\pi}(x)=E_{\pi}[\frac{1}{T}\sum_{t=1}^Tr_t|x_0=x]$ : T 步累积奖赏

$V_{\gamma}^{T}(x)=E_{\pi}[\frac{1}{T}\sum_{t=0}^T \gamma^tr_{t+1}|x_0=x]$ : $\gamma$ 折扣累积奖赏， $\gamma \in (0,1]$

4.2 Bellman 方程

$V_{T}^{\pi}(x)=$ $=\sum_{a \in A}\pi (x,a) \sum_{x^{'} \in X} P_{x\rightarrow x^{'}}^a(\frac{1}{T} R_{x \rightarrow x^{'}}^a+\frac{T-1}{T}V_{T-1}^{\pi}(x^{'}))$

证明：

$V_{T}^{\pi}(x)=E_{\pi}[\frac{1}{T}\sum_{t=1}^T r_t|x_0=x]$

$=E_{\pi}[\frac{1}{T}r_1+\frac{T-1}{T}\frac{1}{T-1}\sum_{t=2}^T r_t|x_0=x]$

$=\sum_{a \in A} \pi(x,a) \sum _{x^{'} \in X}P_{x\rightarrow x^{'}}^a (\frac{1}{T}R_{x\rightarrow x^{'}}^{a}+\frac{T-1}{T}E_{\pi}[\frac{1}{T-1}\sum_{t=1}^{T-1}r_t|x_0=x^{'}])$

$=\sum_{a \in A}\pi (x,a) \sum_{x^{'} \in X} P_{x\rightarrow x^{'}}^a(\frac{1}{T} R_{x \rightarrow x^{'}}^a+\frac{T-1}{T}V_{T-1}^{\pi}(x^{'}))$

r折扣奖赏bellman 方程

$V_{\gamma}^{\pi}(x)=\sum_{a \in A}\sum_{x^{'} \in X} P_{x\rightarrow x^{'}}^a(R_{x\rightarrow x^{'}}^a+\gamma V_{r}^{\pi}(x'))$

四格子世界例子

在某个格子,执行上下左右步骤,其中步骤最短的

为最优路径

5.1：gridword.py

import numpy as np

#手动输入格子的大小
WORLD_SIZE = 4
START_POS = [0,0]
END_POS = [WORLD_SIZE-1, WORLD_SIZE-1]
prob = 1.0
#折扣因子
DISCOUNT = 0.9
# 动作集={上,下,左,右}
ACTIONS = [np.array([0, -1]),    #left
             np.array([-1, 0]),  # up
             np.array([0, 1]),   # right
             np.array([1, 0])]   # down

class GridwordEnv():
    
    def action_name(self, action):
        
        if action ==0:
            name = "左"
        elif action ==1:
            name = "上"
        elif action ==2:
            name = "右"
        else:
            name = "上"
        return name
    
    def __init__(self):
        
         self.nA = 4 #action：上下左右
         self.nS = 16 #state: 16个状态
         self.S = []
         for i in range(WORLD_SIZE):
             for j in range(WORLD_SIZE):
                 state =[i,j]
                 self.S.append(state)
    
    def step(self, s, a):
        
        action = ACTIONS[a]
        state = self.S[s]
        done = False
        reward = 0.0
        
        next_state = (np.array(state) + action).tolist()
        
        if (next_state == START_POS) or (state == START_POS):
            
            next_state =  START_POS
            done = True
     
        elif (next_state == END_POS) or (state == START_POS):
            
            next_state =  END_POS
            done = True
            
        else:
            

            x, y = next_state
            # 判断是否出界
            if x < 0 or x >= WORLD_SIZE or y < 0 or y >= WORLD_SIZE:
                reward = -1.0
                next_state = state
            else:
                reward = -1.0
    
        return prob, next_state, reward,done

5.2 main.py

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Mon Nov 13 09:39:37 2023

@author: chengxf2
"""

import numpy as np

def init_state(WORLD_SIZE):
    
    S =[]
    for i in range(WORLD_SIZE):
        for j in range(WORLD_SIZE):
            
            state =[i,j]
            S.append(state) 
            
    print(S)
    
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Fri Nov 10 16:48:16 2023

@author: chengxf2
"""

import numpy as np
import sys
from gym.envs.toy_text import discrete  #环境
from enum import Enum
from gridworld import GridwordEnv


class Agent():
    
    def __init__(self,env):
        self.discount_factor = 1.0 #折扣率
        self.theta = 1e-3 #最大偏差
        self.S = []
        self.env = env
       
        
    
    
    #当前处于的位置,V 累积奖赏
    def one_step_lookahead(self,s, v):
        

        R = np.zeros((env.nA)) #不同action的累积奖赏
        
        for action in range(env.nA):
          
            prob, next_state,reward, done = env.step(s, action) #只有一个
            
            next_state_index = self.env.S.index(next_state)
            #print("\n state",s ,"\t action ",action, "\t new_state ", next_state,"\t next_state_index ", next_state_index,"\t r: ",reward)
            
            r=  prob*(reward + self.discount_factor*v[next_state_index])
 
            R[action] +=r
                
        #print("\n state ",s, "\t",R)        
        return R
                
    
    def value_iteration(self, env, theta= 1e-3, discount_factor =1.0):
        
        
        v = np.zeros((env.nS)) #不同状态下面的累积奖赏,16个状态
        iterNum = 0
        
        while True:
            
            delta = 0.0
            for s in range(env.nS):
 
                R = self.one_step_lookahead(s,v)#在4个方向上面得到的累积奖赏
                
                best_action_value = np.max(R)
                #print("\n state ",s, "\t R ",R, "\t best_action_value ",best_action_value)
                
                bias = max(delta, np.abs(best_action_value-v[s]))
                v[s] =best_action_value
                #if (s+1)%4 == 0:
                    #print("\n -----s ------------",s)
                
            iterNum +=1
            
            if bias<theta:
                    break
               
            
        print("\n 迭代次数 ",iterNum)
        return v
            
        
         
    def learn(self):

        policy = np.zeros((env.nS,env.nA))
   
        v = self.value_iteration(self.env, self.theta, self.discount_factor)
        
        for s in range(env.nS):
            
            R =  self.one_step_lookahead(s,v)
            best_action=  np.argmax(R)
            
            #print(s,best_action_value )
            policy[s,best_action] = 1.0
        return policy,v
            
if __name__ == "__main__":
    env = GridwordEnv()
    agent =Agent(env)
    policy ,v = agent.learn()
    
    
    for s in range(env.nS):
        
        action = np.argmax(policy[s])
        act_name = env.action_name(action)
        print("\n state ",s, "\t action ",act_name, "\t 累积奖赏 ",v[s])

参考：

【强化学习玩游戏】1小时竟然就学会了强化学习dqn算法原理及实战（人工智能自动驾驶/深度强化学习/强化学习算法/强化学习入门/多智能体强化学习）_哔哩哔哩_bilibili

2-强化学习基本概念_哔哩哔哩_bilibili

3-马尔科夫决策过程_哔哩哔哩_bilibili

4-Bellman方程_哔哩哔哩_bilibili

5-值迭代求解_哔哩哔哩_bilibili

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